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Lipschitz-Stetigkeit

Untersuchen Sie die Funktionen auf Lipschitz-Stetigkeit

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Text erkannt:

(a) Untersuchen Sie die Funktion
f : (0,1)R,f(x) : =1x f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x):=\frac{1}{x}
auf Lipschitz-Stetigkeit.
(b) Ist die Funktion
g : (0,)R,g(x) : =1x g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x):=\frac{1}{x}
(c) Ist die Funktion
h : (1,)R,h(x) : =1x h:(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad h(x):=\frac{1}{x}
Lipschitz-stetig?

Hallo, zusammen! Könnte jemand mir bitte erklären, wie man solche Aufgaben lösen muss? Ich wäre sehr dankbar für den Lösungsweg auch! Danke!

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Z.B. kannst du folgendes Kriterium nutzen:

Eine differenzierbare Funktion f ⁣ : (a,b)R f\colon (a,b)\rightarrow\R mit a,bR{±} a,b\in\R\cup\{\pm\infty\} ist genau dann lipschitzstetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitzstetigkeit

1 Antwort

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Hallo das mit der Ableitung ist zwar richtig, aber erst wenn man Ableitungen hat.

bis dahin muss man  für |1/x-1/y| ein festes L finden, was im gesamten Bereich gilt mit |1/x-1/y|<L*|x-y|

wenn man den linken Teil auf den Hauptnenner bringt ist das für h leicht, für f und g sollte der Fragende sehen  ob es für x,y nahe 0 geht!

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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