Beweise, dass die induktiv definierte Folge (xn)n∈ℕ eine nicht konvergente Cauchy-Folge im metrischen Raum (ℚ, |•|) ist.

Question

Aufgabe:

Beweise, dass die induktiv definierte Folge (x_n)_n∈ℕ mit : x₁ := 1 und x_n+1 := $\frac{1}{2}$(x_n + $\frac{2}{xn}$) ( xn im Bruch soll x_n sein) für n∈ℕ eine nicht konvergente Cauchy-Folge im metrischen Raum (ℚ, |•|) ist.

Problem/Ansatz:

Hey Leute, also ich weiß, dass die Reihe gegen $\sqrt{2}$ konvergiert und daher der Grenzwert nicht im metrischen Raum liegt. Aber ich brauche Hilfe dabei es zu beweisen. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen. Danke schon mal im Voraus :)

Answer 1

Angenommen sie wäre Konvergent, dann weißt du dass die Folge xn den gleichen Grenzwert besitzt wie xn+1. Damit kannst du für xn durch x ersetzen und hast dann schlussendlich eine gleichung mit x²=2. Dann weißt du aber, dass die Lösung kein Element von Q ist und damit ist die Folge nicht Konvergent in Q.

Jetzt fehlt aber noch, dass du zeigst, dass diese Folge eine Cauchy-Folge in Q ist. Ist dir klar wie?