Aloha :)
Wir kennen folgende Wahrscheinlichkeitsverteilungen:$$\begin{array}{r|ccc}x= & 0 & 1 & 2\\\hline p(x)= & 0,3 & 0,5 & 0,2\end{array}\quad;\quad \begin{array}{r|ccc}y= & 1 & 2 & 5\\\hline p(x)= & 0,2 & 0,6 & 0,2\end{array}$$
Wir erstellen daraus eine neue Tabelle aller möglichen Kombinationen und fassen darin die Summe und die jeweilige Eintrittswahrscheinlichkeit des Falles zusammen:$$\begin{array}{c|l|l|l}+ & x=0\,|\,p=0,3 &x=1\,|\,p=0,5 & x=2\,|\,p=0,2\\\hline y=1\,|\,p=0,2 & z=1\,|\,p=0,3\cdot0,2 & z=2\,|\,p=0,5\cdot0,2 & z=3\,|\,p=0,2\cdot0,2\\ y=2\,|\,p=0,6& z=2\,|\,p=0,3\cdot0,6 & z=3\,|\,p=0,5\cdot0,6 & z=4\,|\,p=0,2\cdot0,6\\y=5\,|\,p=0,2 & z=5\,|\,p=0,3\cdot0,2 & z=6\,|\,p=0,5\cdot0,2 & z=7\,|\,p=0,2\cdot0,2\end{array}$$
Wir rechnen alle Wahrscheinlichkeiten aus:$$\begin{array}{c|l|l|l}+ & x=0\,|\,p=0,3 &x=1\,|\,p=0,5 & x=2\,|\,p=0,2\\\hline y=1\,|\,p=0,2 & z=1\,|\,p=0,06 & z=2\,|\,p=0,10 & z=3\,|\,p=0,04\\ y=2\,|\,p=0,6& z=2\,|\,p=0,18 & z=3\,|\,p=0,30 & z=4\,|\,p=0,12\\y=5\,|\,p=0,2 & z=5\,|\,p=0,06 & z=6\,|\,p=0,10 & z=7\,|\,p=0,04\end{array}$$
Das führt uns auf folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für \(Z=X+Y\):$$\begin{array}{c|ll}z & \qquad \quad p(z)\\\hline1 & 0,06 &=0,06\\2 & 0,10+0,18 &=0,28\\3 & 0,04+0,30 &=0,34\\4 & 0,12 & =0,12\\5 & 0,06 & = 0,06 \\ 6 & 0,10 & =0,10\\7 & 0,04 & =0,04\end{array}$$
