Phasenportrait einer DGL 2.Ordnung

Question

Ich habe ein großes Problem Phasenportriats von DGLs zu verstehen und auch sie zu zeichnen. Wir hatten ein Beispiel und sollten das Phasenportrait folgender Gleichung zeichnen:

$$\theta''(t) = -\frac{g}{L}\theta(t)$$

Die Gleichung ist die lineare Approximation eines ungedämpften Schwingenden Pendels für $$|\theta(t)| << 1$$ (Theta beschreibt den Winkel der Auslenkung, g die Schwerebeschleunigung und L die Länge des Pendels)

Die DGL habe ich bereits gelöst und folgendes Ergebnis für diese:

$$C_1e^{\sqrt{-\frac{g}{L}} \cdot \ t}+ \frac{C_2}{e^{\sqrt{-\frac{g}{L}}\cdot \ t}}$$

Ich würde mich sehr über jegliche Hilfe freuen.

Casio991

Answer 1

Hallo

1. Schritt: wandle die Dgl 2 ten Grades  x''(t)=-<*x(t) in ein System von 2 dgl  ersten Grades um.Dann hast du

x1'=-x2

x2'=-k*x1

jetzt kannst du in der x1-x2 Ebene die Richtungspfeile zeichnen, anfangs sollte dir

https://aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html

helfen.

Aber wie du deine Lösung schreibst ist ungewöhnlich üblich ist √(-g/L)=i* √(g/L)

oder besser noch C1sin(√(g/L)*t)+C2cos(√(g/L)*t) also die reellen Lösungen.

Gruß lul

Comments

Ich verstehe nicht ganz wie du von: $C_1e^{\sqrt{-\frac{g}{L}} \cdot \ t}+ \frac{C_2}{e^{\sqrt{-\frac{g}{L}}\cdot \ t}}$ auf $$C_1sin(\sqrt{\frac{g}{L}})+C_2cos(\sqrt{\frac{g}{L}})$$ gekommen bist. Das mit dem -1 aus der Wurzel holen und das dann umzuschreiben in i mal meiner wurzel und dem komplex konjugierten habe ich soweit verstanden. Doch ich komme dann uaf folgendes: $$C_1(cos(\sqrt{\frac{g}{L}})+isin(\sqrt{\frac{g}{L}}))+C_2(cos(\sqrt{\frac{g}{L}})-isin(\sqrt{\frac{g}{L}}))$$ oder habe ich da einen Denkfehler?