Wie viele Versuche braucht man im Mittel?

Question

Aufgabe:

Eine Schachtel enthält 10 Werkstücke, von denen genau drei defekt sind. Es wird solange (zufällig und ohne Zurücklegen) ein Werkstück herausgenommen, bis ein brauchbares gefunden ist. Wie viele Versuche braucht man im Mittel? (Ergebnis: 1.375)

Problem/Ansatz:

Da es sich mit zurücklegen handelt, bin ich der Meinung es handelt sich hierbei um eine hypergeometrisch Verteilung.

Ich hätte nun den Mittelwert mit der Formel ausgerechnet: n+(M/N) bzw. für n wüsste ich jedoch nicht was ich einsetzen müsste... M = 3, da wir die Anzahl der defekten Teile betrachten. N = 10, Gesamtanzahl der Werkstücke

Comments

Mittelwert mit der Formel ausgerechnet

Den gesuchten Erwartungswert berechnest du mit der Formel E = 1 + M/(L+1) ,
wobei M = die Anzahl der defekten Teile , N = Gesamtanzahl der Werkstücke und L = N-M = die Anzahl der brauchbaren Teile

Answer 1

Aloha :)

In der Aufgabenstellung steht, dass ohne Zurücklegen gezogen wird...

10 Werkstücke, 3 sind defekt, 7 sind brauchbar. Es wird solange ohne Zurücklegen gezogen, bis man ein brauchbares Werkstück erhält.

Die Zufallsvaribale $X$ sei die Anzahl der benötigten Ziehungen. Wir bestimmen die Einzelwahrscheinlichkeiten.

$$p(X=1)=\underbrace{\frac{7}{10}}_{\text{brauchbar}}=\frac{84}{120}$$$$p(X=2)=\underbrace{\frac{3}{10}}_{\text{defekt}}\cdot\underbrace{\frac{7}{9}}_{\text{brauchbar}}=\frac{7}{30}=\frac{28}{120}$$$$p(X=3)=\underbrace{\frac{3}{10}}_{\text{defekt 1}}\cdot\underbrace{\frac{2}{9}}_{\text{defekt 2}}\cdot\underbrace{\frac78}_{\text{brauchbar}}=\frac{7}{120}$$$$p(X=4)=\underbrace{\frac{3}{10}}_{\text{defekt 1}}\cdot\underbrace{\frac{2}{9}}_{\text{defekt 2}}\cdot\underbrace{\frac{1}{8}}_{\text{defekt 3}}\cdot\underbrace{\frac{7}{7}}_{\text{brauchbar}}=\frac{1}{120}$$

Der Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen ist daher:$$E(X)=\frac{84}{120}\cdot1+\frac{28}{120}\cdot2+\frac{7}{120}\cdot3+\frac{1}{120}\cdot4=\frac{11}{8}=1,375$$

Wenn mit Zurücklegen gezogen wird, gilt für $X=k\ge1$, dass zuerst $(k-1)$ defekte Bauteile gezogen werden müssen und als letztes ein brauchbares Bauteil:$$P(X=k)=\left(\frac{3}{10}\right)^{k-1}\!\!\!\cdot\frac{7}{10}$$Der Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen ist nun:$$E(X)=\sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot P(X=k)=\sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{k-1}\!\!\!\cdot\frac{7}{10}=\frac{7}{10}\sum\limits_{k=1}^\infty k\left(\frac{3}{10}\right)^{k-1}$$

Zur Berechnung der Summe betrachte allgemeiner mit $|y|<1$:$$\sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot y^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{d}{dy}(y^k)\stackrel{(|y|<1)}{=}\frac{d}{dy}\sum\limits_{k=1}^\infty y^k=\frac{d}{dy}\left(\sum\limits_{k=0}^\infty y^k-y^0\right)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot y^{k-1}}=\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{1-y}-1\right)=\frac{1}{(1-y)^2}$$

Für $y=\frac{3}{10}$ heißt das:$$E(X)=\frac{7}{10}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{3}{10}\right)^2}=\frac{7}{10}\cdot\frac{1}{\left(\frac{7}{10}\right)^2}=\frac{10}{7}\approx1,42857$$

Comments

Danke für die Top-Erklärung. Man hätte dies wohl auch mit dem Zeichnen eines Ereignisbaums gut lösen können. Jedoch, fällt es mir schwer zu erkennen, wann ich den von dir beschrieben Weg, einsetzen muss. Ich gehe mal davon aus, das wenn die Anzahl der gezogenen Teile/Kugeln nicht angegeben ist und somit ein Parameter für die Berechnung des Erwartungswertes mit der hypergeometrischen Verteilung fehlt, ist dein Weg zur Lösung angebracht. Sehe ich das so richtig? :)

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Ein Ereignisbaum kann hilfreich sein, wenn du alle Ausgänge eines Zufallsexperimentes aufschreiben kannst. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist das der Fall, weil nach spätestens 3 fehlerhaften Bauteilen ein gesundes Bauteil gezogen werden muss. Es gibt also ein fest definiertes Ende des Zufallsexperimentes.

Beim Ziehen mit Zurücklegen, kann die Anzahl der Ziehungen unendlich groß werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür wird zwar unendlich klein, aber nicht Null. Daher wirst du mit dem Malen des Baumes nie fertig.

Answer 2

Der Erwartungswert der Anzahl Ziehungen, um ein solches Exemplar zu finden von denen es 7 in 10 gibt, ist = (10+1) / (7+1).

Das steht im Ergebnis schon anderswo auf dieser Seite. Interessant wäre eine Herleitung.

Comments

Interessant wäre eine Herleitung.

Würde mich auch interessieren. Ich sehe nur eine etwas hölzerne Herleitung.