Bestimmen Sie die folgenden Erwartungswerte (das Ergebnis ist jeweils ganzzahlig):

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei \( \Omega=\left\{\omega_{1} ; \omega_{2}\right\} \) und \( P \) die Gleichverteilung.
Die beiden Variablen \( X, Y \) seien wie folgt definiert:
\( \begin{array}{ll} X\left(\omega_{1}\right):=1 & X\left(\omega_{2}\right):=3 \\ Y\left(\omega_{1}\right):=3 & Y\left(\omega_{2}\right):=1 \end{array} \)
Bestimmen Sie die folgenden Erwartungswerte (das Ergebnis ist jeweils ganzzahlig):
\( \begin{array}{l} E(X)=2 \\ E(Y)=2 \\ E(X \cdot Y)= ??? \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Um E(X*Y) zu berechnen, denke ich, dass ich zusätzlich noch u.a die Wahrscheinlichkeit P(X=1, Y=3),P(X=1, Y=1),P(X=3, Y=3), P(X=3, Y=1) brauche. Jedoch, weiß ich nicht wie ich die Wahrscheinlichkeiten berechnen soll, mir fehlt da der Ansatz oder habe ich einen Denkfehler?

Comments

Eigentlich ist die Wahrscheinlichkeit 1/2. Also müsste der Erwartungswert berechnet werden durch E(X*Y) = 1/2(1*1+1*3+3*1+3*3) ?

Answer 1

Aus

        \( X\left(\omega_{1}\right)=1,\ X\left(\omega_{2}\right)=3,\ E(X) = 2\)

folgt

        \(2 = 1\cdot P\left(X=1\right) + 3\cdot P\left(X=3\right)\)

wobei

        \(P\left(X=1\right) = P\left(\omega_{1}\right)\)

und

      \(P\left(X=3\right) = P\left(\omega_{2}\right)\)

und

      \(P\left(\omega_{2}\right) = 1 - P\left(\omega_{1}\right)\)

ist.

Comments

Seltsame Schlussrichtung.

Aus den gegebenen Voraussetzungen über die Art der Verteilung und die Zufallsvariable X folgt, dass E(X) = 2  ist. Dies zu berechnen war Teil der Aufgabe (man beachte den verwendeten Plural) und wurde vom Fragesteller schon gelöst.