Aufgabe:
Sei \( X \sim \operatorname{Poi}(\lambda) \).
(a) Zeigen Sie, dass \( \mathbb{E} X=\lambda \).
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert von
\( [X]_{k}:=X \cdot(X-1) \cdots(X-k+1), \quad k \in \mathbb{N}_{0} . \)
(c) Berechnen Sie damit \( \mathbb{E} X^{2} \) sowie \( \mathbb{V} X=\mathbb{E}\left(X^{2}\right)-\mathbb{E}(X)^{2} \).
(d) Berechnen Sie \( \mathbb{E}\left(\mathrm{e}^{u X}\right) \) für \( u \in \mathbb{R} \).
Problem/Ansatz:
