Eigenwerte und Determinante in Abhängigkeit eines Parameters

Question

Aufgabe:

Hallo liebe Community,

vielleicht könnt ihr mir bei folgender Aufgabe behilflich sein.

\( \begin{pmatrix} a & 1\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) …

Problem/Ansatz:

Gegeben ist die Matrix A.

Ich soll nun berechnen, für welche Werte in Abhängigkeit von „a“ die Matrix A invertierbar ist bzw. welche reellen Eigenwerte, ebenfalls in Abhängigkeit von „a“ es gibt.

Ich bin schon so weit, dass ich weiß, die Matrix A ist für alle Werte außer der 2 invertierbar.

Wie gebe ich dann die Inverse dieser Matrix an? Muss ich den Parameter immer mit in die Matrix mit „einbauen“?

Bei den Eigenwerten habe ich das gleiche Problem. (a-lambda)*(1-lambda)-2=0 ?

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe

Answer 1

Wie gebe ich dann die Inverse dieser Matrix an? Muss ich den Parameter immer mit in die Matrix mit „einbauen“?

Ja, das ist dann wohl

1/(a-2)     -1/(a-2)

-2/(a-2)    a/(a-2)

b)   (a-lambda)*(1-lambda)-2=0

<=>  lambda^2 + (-a-1)lambda)+a-2=0

Mit pq-Formel

lambda1_2 = (a+1)/2  ±√( (a+1)^2 /4  - a+2 )

und das gibt reelle Lösungen nur für

(a+1)^2 /4  - a+2 ≥ 0

<=>  a^2 - 2a + 9 ≥ 0

<=> (a-1)^2 + 8 ≥ 0   also für alle a∈ℝ.

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Vielen Dank für deine Hilfe!