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Mein Ziel ist es, folgendes zu zeigen $$ \lim\limits_{h\to\{0}\frac{((hv)^{3}+(x+hv)^{3})^{1/3}-x}{h}=v $$

dabei muss ich natürlich versuchen h aus dem Nenner zu bekommen, jedoch finde ich keine Möglichkeit den Term dementsprechend zu vereinfachen.

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Hallo

das sieht nach einer Ableitung aus? kannst du sagen wie die Formel entstand?

lul

h aus dem Nenner zu bekommen

Zur Not hilft die Allzweckwaffe l'Hospital

Ja richtig, ist eine Richtungsableitung

Hallo

Richtungsableitung für welche Funktion?

lul

Schließe mich luls Frage an.

Bild_2022-07-07_133323867.png

Text erkannt:

Gegeben sei die Funktion
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\right)^{\frac{1}{3}}, \quad x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} . \)
(a) Zeigen Sie, dass die Richtungsableitung von \( f \) im Punkt \( x_{0}=(0,0) \) für jede Richtung existiert.
(b) Betrachten Sie nun \( f \) auf ganz \( \mathbb{R}^{2} \). Bestimmen Sie für welche Punkte \( x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) und welche Richtungen \( v \) die Richtungsableitung von \( f \) in \( x \) existiert und berechnen sie diese gegebenenfalls.

Das ist die Aufgabe und ich versuche grade bei der b) zu zeigen, dass für x1 oder x2 =0 die Richtungsableitung funktioniert.

zum genaueren Ausführen :

\( \frac 1h (\sqrt[3]{(hv)^3+(x+hv)^3} -x)\) = \( \frac v k (\sqrt[3]{k^3+(x+k)^3} -x)\)

= \( \frac v k* ((x+k)*\sqrt[3]{(\frac{k}{x+k})^3+1} -x)\) ≈ \( \frac v k* ((x+k) *(1+\frac 1 3 (\frac{k}{x+k})^3) -x) \)

= \( \frac v k*(x+k+\frac 1 3 \frac {k^3}{(x+k)^2} - x)\) = \( v*(1+\frac 1 3 (\frac{k}{x+k})^2)\)

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