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Aufgabe:

Berechnen Sie den Lotfußpunkt vom Punkt $$ r = \begin{pmatrix} -1\\8 \end{pmatrix} $$ auf der Geraden $$ 3x-y-9 = 0 $$

Problem/Ansatz:


1) Gerade in Parameterdarstellung

$$ l(t) = r + t*v  \text{ mit } p = \begin{pmatrix} \frac{-c}{a}\\0 \end{pmatrix} \text{ und }  v = \begin{pmatrix} b\\-a \end{pmatrix} $$

$$ v = \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} $$

$$ p = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} $$

$$ l(t) = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} $$


2) Vektor w = r-p ermitteln (Punkt zu Ortsvektor)

$$ w = r - p = \begin{pmatrix} -1\\8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} -4\\8 \end{pmatrix} $$


3) t ermitteln

$$ t = \frac{w*v}{||v||^{2}} $$

$$v*w = \begin{pmatrix} -4\\8 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} = -4*1 + 8*3 = 20 $$

$$||v|| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{4} = 2$$

$$ ||v||^2 = 2^{2} = 4 $$

$$t = \frac{20}{4} = \frac{5}{1} = 5$$


4) t in Parameterdarstellung einsetzen um Lotfußpunkt q zu ermitteln

$$ q = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}+ 5\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\\15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\15 \end{pmatrix} $$


Also ich habe mir die Gerade mal zeichnen lassen und irgendwie kann das ja nicht sein.

Weiß jemand was ich falsch gemacht habe?

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2 Antworten

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Beste Antwort

Deine Gerade hat die Gleichung (umgestellt) y=3x-9 und somit den Anstieg 3.

Die Lotgerade steht dazu senkrecht und muss demzufolgen den Anstieg -1/3 haben.

Die Gleichung von Geraden mit diesem Anstieg lautet y=-x/3+n.

Da der Punkt (-1|8) auf dieser Geraden liegt, muss 8=-(-1)/3+n gelten, also n=23/3.

Die Gerade y=3x-9 wird von ihrer Lotgeraden y=-x/3 +23/3 geschnitten.

Der Schnittpunkt ist bei x=5 mit dem y-Wert 6.

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Aber das müsste doch auch mit meinem Lösungsversuch klappen?

Der ist so in der Vorlesung und in einem Buch :-(

~draw~ vektor(3|0 3|9 "");punkt(-1|8);punkt(5|6);gerade(-1|8 5|6);zoom(10) ~draw~


Sieht übrigens ganz gut aus

Würdest du über

\(\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{4} \)


nochmal nachdenken???

In meinem Universum gilt 1+9=10.

Oh man.. Danke dir :,)

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\(P(-1|8)\)       \(y=3x-9\)

Kreis um \(P(-1|8)\):    \(x+1)^2+(y-8)^2=r^2\)

\((x+1)^2+(3x-17)^2=r^2\)

\((x-5)^2= \frac{r^2-40}{10}|\sqrt{~~} \)

Ein Punkt bei Radikand =0     \(x=5 und   y=6\)      \(L(5|6)\)

Unbenannt.PNG

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