Lotfußpunkt von p auf Gerade berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Lotfußpunkt vom Punkt $$r = \begin{pmatrix} -1\\8 \end{pmatrix}$$ auf der Geraden $$3x-y-9 = 0$$

Problem/Ansatz:

1) Gerade in Parameterdarstellung

$$l(t) = r + t*v \text{ mit } p = \begin{pmatrix} \frac{-c}{a}\\0 \end{pmatrix} \text{ und } v = \begin{pmatrix} b\\-a \end{pmatrix}$$

$$v = \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix}$$

$$p = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}$$

$$l(t) = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix}$$

2) Vektor w = r-p ermitteln (Punkt zu Ortsvektor)

$$w = r - p = \begin{pmatrix} -1\\8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\8 \end{pmatrix}$$

3) t ermitteln

$$t = \frac{w*v}{||v||^{2}}$$

$$v*w = \begin{pmatrix} -4\\8 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} = -4*1 + 8*3 = 20$$

$$||v|| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{4} = 2$$

$$||v||^2 = 2^{2} = 4$$

$$t = \frac{20}{4} = \frac{5}{1} = 5$$

4) t in Parameterdarstellung einsetzen um Lotfußpunkt q zu ermitteln

$$q = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}+ 5\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\\15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\15 \end{pmatrix}$$

Also ich habe mir die Gerade mal zeichnen lassen und irgendwie kann das ja nicht sein.

Weiß jemand was ich falsch gemacht habe?

Answer 1

Deine Gerade hat die Gleichung (umgestellt) y=3x-9 und somit den Anstieg 3.

Die Lotgerade steht dazu senkrecht und muss demzufolgen den Anstieg -1/3 haben.

Die Gleichung von Geraden mit diesem Anstieg lautet y=-x/3+n.

Da der Punkt (-1|8) auf dieser Geraden liegt, muss 8=-(-1)/3+n gelten, also n=23/3.

Die Gerade y=3x-9 wird von ihrer Lotgeraden y=-x/3 +23/3 geschnitten.

Der Schnittpunkt ist bei x=5 mit dem y-Wert 6.

Comments

Aber das müsste doch auch mit meinem Lösungsversuch klappen?

Der ist so in der Vorlesung und in einem Buch :-(

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~draw~ vektor(3|0 3|9 "");punkt(-1|8);punkt(5|6);gerade(-1|8 5|6);zoom(10) ~draw~

Sieht übrigens ganz gut aus

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Würdest du über

$\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{4}$

nochmal nachdenken???

In meinem Universum gilt 1+9=10.

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Oh man.. Danke dir :,)

Answer 2

$P(-1|8)$       $y=3x-9$

Kreis um $P(-1|8)$:    $x+1)^2+(y-8)^2=r^2$

$(x+1)^2+(3x-17)^2=r^2$

$(x-5)^2= \frac{r^2-40}{10}|\sqrt{~~}$

Ein Punkt bei Radikand =0     $x=5 und y=6$      $L(5|6)$