Zeige: Für alle n ∈ ℕ gilt:

Question

Aufgabe:

Zeige: Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1} \)

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man das?

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac{1}{k+1}\right)=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k-\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k+1}=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}}=\left(\frac11+\sum\limits_{k=2}^n\frac1k\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$$

Comments

vielen lieben dank für die hilfe :)

Answer 2

Wie zeigt man das?

Du kannst es mit vollständiger Induktion probieren. Schaffst du das?

Comments

Induktion ist schon ein Weilchen her, aber da kann man sich bestimmt wieder schnell reinfuchsen. Ich schau mal ob ich das hinbekomme haha