Zeige, dass aus a|b folgt: (a,b)=a und [a,b]=b, wobei a,b Elemente von ℕ sind.

Question

Hallo,

ich lerne gerade für eine Klausur und stehe bei folgender Aufgabe total auf dem Schlauch

Aufgabe:

Zeige, dass aus a|b folgt: (a,b)=a und [a,b]=b, wobei a,b Elemente von ℕ sind.

Problem/Ansatz:

Mit konkreten Zahlen ausprobiert ist das Ganze sinnig, nur weiß ich nicht, wie ich von der Teilbarkeit zum ggt und kgv komme.

Answer 1

Aus \(x\mid y\) folgt \(x\leq y \) für alle \(x,y\in \mathbb{N}\).

Insbesondere ist dann auch

      \(\operatorname{ggT}(a,b)\leq a \wedge \operatorname{ggT}(a,b)\leq b\)

und

      \(\operatorname{kgV}(a,b)\geq a \wedge \operatorname{kgV}(a,b)\geq b\).