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ich brauche etwas Auffrischung bei der Anwendung folgender Formel:

 

Das ist die Formel zur Berechnung des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene.

Im Zähler wird das Spatprodukt gebildet bzw. das Volumen errechnet , richtig? Der Punkt P ist ein beliebiger Punkt aus der Ebene, richtig?

Im Nenner wird das Vektorprodukt/Kreuzprodukt gebildet und der Betrag von diesem Vektorprodukt ist der Flächeninhalt des Parallelogramms.

Also heißt die Formel erstmal nichts anderes als Volumen / Flächeninhalt

 

Ich habe die Formel auf folgende Übungsaufgabe angewendet und kriege nicht die richtige Lösung raus:

Q = -3 | 1 | 1

A = 2 | 2 | -1

B = 3 | 1 | 1

C = 2 | 4 | 0


AB x AC = ( -5    -1   2 )   = n

AQ = (-3   1    1 ) - ( 2   2   -1)  = (-5  -1  2)

 

n * AQ = √30

| AB x AC | = √30

 

d = 1 ??

Als Lösung kommt √30 raus. Aber was ist falsch? Im Nenner soll anscheinend eine 1 stehen, aber | AB x AC |  != 1 ??

Gefragt von

Die Formel ist doch eigentlich nur die Umstellung von

 

Volumen = Grundfläche * Höhe  | :Grundfläche

Volumen/Grundfläche = Höhe = Abstand

Ah ich hab einen kleinen Fehler gemacht.

Natürlich ist der Betrag im Zähler NICHT √30 sondern nur 30.

Mich haben diese Betragsstriche im Zähler verwirrt.

Dann ist d = 30 / √30 = 301 - 1/2  = 301/2 = √30 und das ist auch dann die Lösung. Damit wäre meine Frage auch schon selbst geklärt.

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Beste Antwort

AB x AC = ( -5    -1   2 )   = n

AQ = (-3   1    1 ) - ( 2   2   -1)  = (-5  -1  2)

 

n * AQ = 25 + 1 + 4 = 30

Hast du ja schon selbst bemerkt.

Ebenen, die zu einer gegebenen Ebene einen vorgegebenen Abstand haben, kannst du aber auch mit der Hesseschen Normalform HNF bestimmen. http://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform

Beantwortet von 142 k
Sowas wurde in den Vorlesungen bei uns gar nicht besprochen. Also von der Hesseschen Normalform habe ich noch nie was gehört

Aber danke trotzdem für die Antwort! Stimmt denn wenigstens, dass man eigentlich die "Höhe" des schiefen Quaders bestimmt und somit gleichzeitig den Abstand erhält?

Weil oben ist ja das Spatprodukt, unten ist der Flächeninhalt.
Ja. An deiner Formel hab ich sonst nichts zu bemängeln. Ich verstand nur nicht, warum du die HNF nicht benutzt.
Wie gesagt, das wurde uns gar nicht beigebracht oder gezeigt und anscheinend sollen wir für die Klausur nur diese Formel verwenden, die oben steht.

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