Berechne die kritischen Punkte

Question

Aufgabe:

Berechne die kritischen Punkte von
x² + y² unter xy=4 

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor? Ich muss ja erstmal den Gradienten bestimmten, der würde ja dann bestehen aus f‘(x)= 2x und f‘(x)= 2y. Diese beiden Gleichungen hätte ich jetzt 0 gesetzt, aber dann kommt da ja für beides 0 raus. Ab da komme ich leider nicht weiter

Answer 1

Entweder über Substitution oder Lagrange. Z.B.

L(x, y, k) = x^2 + y^2 - k·(x·y - 4)

Gradient

L'(x, y, k) = [2·x - k·y, 2·y - k·x, 4 - x·y] = [0, 0, 0]

Löse das Gleichungssystem. Ich erhalte die Lösungen (x = -2 ∧ k = 2 ∧ y = -2) ∨ (x = 2 ∧ k = 2 ∧ y = 2)

f(2, 2) = 8

f(- 2, - 2) = 8

Answer 2

\(f(x,y)=x^2 + y^2    mit   x*y=4\)   → \(y= \frac{4}{x} \)

\(f(x)=x^2+ \frac{16}{x^2}=\frac{x^4+16}{x^2} \)

\(f´(x)= \frac{4x^3*x^2-(x^4+16)*2x}{x^4}=\frac{4x^4-2x^4-32}{x^3}=\frac{2x^4-32}{x^3}\)

\(f´(x)=0\)         \(x^4=16\)       \(x₁=2\)    \(y₁=2\)     \(x₂ =-2\)    \( y₂=-2\)           \(x₃∨x₄∉ℝ\)