Zeigen Sie, dass ihr Geld im Grenzfall einer kontinuierlichen Akkumulation der Zinsen ( d.h.

Question

Aufgabe:

Hallöchen,


bin bei folgender Zinssatz-Aufgabe am "verzweifeln". Es geht darum das der Zinssatz jährlich steigt, d.h. jedes Jahr steht für einen eigenen Zinssatz:

Nehmen Sie an, Sie legen Ihr Geld a0 auf einem Konto an, dessen Zinssatz proportional zur abgelaufenen Zeit wächst, beginnend mit Null und pro Jahr um ∆p anwachsend. Die Zinsen werden in n Tranchen pro Jahr zugestellt. Zeigen Sie, dass ihr Geld im Grenzfall einer kontinuierlichen Akkumulation der Zinsen ( d.h. n -> unendlich ) nach m Jahren auf a0e^(∆k*m^2 / 2 ) angewachsen ist ( ∆k= ∆p / 100 ).

Problem/Ansatz:

Meine Überlegung ist, wo ich mir unsicher bin, es auf die Grundstruktur zu bringen, da die e-FKT mir da nicht weiter half.

a0(1+1k/n)^n * (1+2k/n)^n * (1+3k/n)^n ...              Die Faktoren geben die Anzahl der Jahre an

                                                                             n läuft gegen unendlich

Bekomme die Aufgabe nicht wirklich zu greifen...

Answer 1

Hallo

du hast ja schon einen guten Ansatz, für n gegen oo geht ja (1+a/n)^n gegen e^a

setz das ein und du hast e^ ^{\( \sum\limits_{j=1}^{\infty}{jk} \)}

Gruß lul

Comments

Klingt plausibel^^ 1000 Dank

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Ich weiss nicht ob das richtig ist. Der Term $$  e^{\sum_{j=1}^\infty jk} $$ geht doch gegen \( \infty \) und nicht gegen den gesuchten Term.

Ich hatte das mal probiert

$$ \lim_{n\to\infty} \prod_{j=1}^{m-1} \left( 1 + j \frac{\Delta k}{n} \right)^n = \prod_{j=1}^{m-1}\lim_{n\to\infty} \left( 1 + j \frac{\Delta k}{n} \right)^n = \prod_{j=1}^{m-1} e^{j \Delta k} = $$ $$ e^{\sum_{j=1}^{m-1} j \Delta k} = e^{\Delta k \frac{m(m-1)}{2}} $$

Kommt aber auch nicht die gewünschte Formel raus. Wo hab ich den Fehler gemacht?

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Komme einfach nicht drauf...

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Worauf kommst Du nicht? Ist an meiner Herleitung was unverständlich?

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Herleitung habe ich insgesamt verstanden. Nur bei der Summe die obere Grenze nicht. Warum ist es m-1? Die Grenze sollte ja von 0 bis m gehen.

LG

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Ich hab das so verstanden. Im ersten Jahr gibt es 0% Zinsen. Dann ist der Term $$ 1 + j \frac{\Delta k}{n} = 1 $$ und im Produkt kann man in fortlassen, da mit 1 multipliziert das Ergebnis nicht verändert wird.

Dann soll das Geld \( m \) Jahre angelegt werden, also im 1'ten mit 0%, im 2'ten mit \(\Delta k\% \) bis zum m'ten Jahr mit \( (m-1) \Delta k\% \). Insgesamt also \( m \) Jahre.

Das führt zu

$$  \prod_{j=1}^{m} \left( 1 + (j-1) \frac{\Delta k}{n} \right)^n = \prod_{j=1}^{m-1} \left( 1 + j \frac{\Delta k}{n} \right)^n $$ und daher kommt die obere Grenze \( m - 1 \) in der Summe.

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hm. Das habe ich verstanden. In der Aufgabe ist das Startkapital ao !! Ändert das die Formel dann ins Richtige? Oder ist das egal?

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Das ändert nur in sofernwas, dass das Endkapital dann

$$ a_0 e^{\Delta k \frac{m(m-1)}{2}} $$ ist. Würde man bis \( m \) summieren, dann käme auch nicht da gewünschte Ergebnis raus, denn dann müsste man jeweils \( m-1 \) durch \( m \) ersetzen und das gäbe dann

$$ a_0 e^{\Delta k \frac{(m+1)m}{2}} $$