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Aufgabe:

Hallöchen,


bin bei folgender Zinssatz-Aufgabe am "verzweifeln". Es geht darum das der Zinssatz jährlich steigt, d.h. jedes Jahr steht für einen eigenen Zinssatz:


Nehmen Sie an, Sie legen Ihr Geld a0 auf einem Konto an, dessen Zinssatz proportional zur abgelaufenen Zeit wächst, beginnend mit Null und pro Jahr um ∆p anwachsend. Die Zinsen werden in n Tranchen pro Jahr zugestellt. Zeigen Sie, dass ihr Geld im Grenzfall einer kontinuierlichen Akkumulation der Zinsen ( d.h. n -> unendlich ) nach m Jahren auf a0e^(∆k*m^2 / 2 ) angewachsen ist ( ∆k= ∆p / 100 ).


Problem/Ansatz:

Meine Überlegung ist, wo ich mir unsicher bin, es auf die Grundstruktur zu bringen, da die e-FKT mir da nicht weiter half.

a0(1+1k/n)^n * (1+2k/n)^n * (1+3k/n)^n ...              Die Faktoren geben die Anzahl der Jahre an

                                                                             n läuft gegen unendlich


Bekomme die Aufgabe nicht wirklich zu greifen...

von

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Beste Antwort

Hallo

du hast ja schon einen guten Ansatz, für n gegen oo geht ja (1+a/n)^n gegen e^a

setz das ein und du hast e^ \( \sum\limits_{j=1}^{\infty}{jk} \)


Gruß lul

von 86 k 🚀

Klingt plausibel^^ 1000 Dank

Ich weiss nicht ob das richtig ist. Der Term $$  e^{\sum_{j=1}^\infty jk} $$ geht doch gegen \( \infty \) und nicht gegen den gesuchten Term.

Ich hatte das mal probiert

$$ \lim_{n\to\infty} \prod_{j=1}^{m-1} \left( 1 + j \frac{\Delta k}{n} \right)^n = \prod_{j=1}^{m-1}\lim_{n\to\infty} \left( 1 + j \frac{\Delta k}{n} \right)^n = \prod_{j=1}^{m-1} e^{j \Delta k} = $$ $$ e^{\sum_{j=1}^{m-1} j \Delta k} = e^{\Delta k \frac{m(m-1)}{2}} $$

Kommt aber auch nicht die gewünschte Formel raus. Wo hab ich den Fehler gemacht?

Komme einfach nicht drauf...

Worauf kommst Du nicht? Ist an meiner Herleitung was unverständlich?

Herleitung habe ich insgesamt verstanden. Nur bei der Summe die obere Grenze nicht. Warum ist es m-1? Die Grenze sollte ja von 0 bis m gehen.


LG

Ich hab das so verstanden. Im ersten Jahr gibt es 0% Zinsen. Dann ist der Term $$ 1 + j \frac{\Delta k}{n} = 1 $$ und im Produkt kann man in fortlassen, da mit 1 multipliziert das Ergebnis nicht verändert wird.

Dann soll das Geld \( m \) Jahre angelegt werden, also im 1'ten mit 0%, im 2'ten mit \(\Delta k\% \) bis zum m'ten Jahr mit \( (m-1) \Delta k\% \). Insgesamt also \( m \) Jahre.

Das führt zu

$$  \prod_{j=1}^{m} \left( 1 + (j-1) \frac{\Delta k}{n} \right)^n = \prod_{j=1}^{m-1} \left( 1 + j \frac{\Delta k}{n} \right)^n $$ und daher kommt die obere Grenze \( m - 1 \) in der Summe.

hm. Das habe ich verstanden. In der Aufgabe ist das Startkapital ao !! Ändert das die Formel dann ins Richtige? Oder ist das egal?

Das ändert nur in sofernwas, dass das Endkapital dann

$$ a_0 e^{\Delta k \frac{m(m-1)}{2}} $$ ist. Würde man bis \( m \) summieren, dann käme auch nicht da gewünschte Ergebnis raus, denn dann müsste man jeweils \( m-1 \) durch \( m \) ersetzen und das gäbe dann

$$ a_0 e^{\Delta k \frac{(m+1)m}{2}} $$

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