Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix:

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich erhalte die Eigenwerte: λ₁= 2, λ₂= 1+i, λ₃= 1-i, erhalte jedoch für den Eigenvektor das Ergebnis: Eig(2)=(-1,0,1), was laut Musterlösung falsch ist. Hier heißt es das Ergebnis solle (0,1,0) lauten. Da erhalte ich, wenn ich nach der Formel (A-λE)=0 gehe, für y bzw. v₂ überall eine Null. :(

Danke im Voraus.

Answer 1

Wenn du \(Av\) mit deinem Eigenvektor ausrechnest, wirst du sofort sehen, dass es nicht passt. Mit dem Eigenvektor der Lösung sieht man aber sofort, dass \(Av=2v\) ist, denn durch Multiplikation mit dem Vektor \((0,1,0)^T\) berechnet man die zweite Spalte der Matrix und diese ist gerade \(2v\).

Deinen Fehler kann man besser finden, wenn du deine Rechnung mitlieferst.

Answer 2

Hallo,

Deine Eigenwerte stimmen.

\( \left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 0 & -1 \\ 2 & 2-\lambda & 3 \\ 1 & 0 & 1-\lambda\end{array}\right|=0 \)

Setze dann 2 ein:

\( \left(\begin{array}{rrr}-1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}\end{array}\right)=0 \)

 -->

1) \( -v_{1}-v_{3}=0 \)

2) \( 2 v_{1}+3 v_{3}=0 \)
3) \( v_{1} \quad-v_{3}=0 \)

1+ 3:

\( \begin{aligned}-2 v_{3} & =0 \\ v_{3} & =0\end{aligned} \)

ν₃ in 2 eingesetzt:

\( 2 v_{1}+3 v_{3}=0 \)

 \( \begin{aligned} 2 v_{1} & =0 \\ v_{1} & =0\end{aligned} \)

\( v_{2} \) ist frei wählbar z.B.. a

---->

\( =\left(\begin{array}{l}0 \\ a \\ 0\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)

Analog funktioniert es für die beiden anderen Eigenwerte.