orthogonale komplement bestimmen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie, für $t \in \mathbb{R}$, den von den Vektoren

$\begin{array}{ll} (t,-1, t+1,4), & (7 t-2,-7,7 t+4,27), \\ (2,0,3,1), & (21 t-4,-21,21 t+15,82) \end{array}$
erzeugten Untervektorraum $U_{t}$ des euklidischen Standardvektorraumes $\mathbb{R}^{4}$.
(a) Bestimmen Sie, in Abhängigkeit von $t \in \mathbb{R}$, eine Basis von $U_{t}$ und eine Ergänzung derselben zu einer Basis von $\mathbb{R}^{4}$.
(b) Bestimmen Sie, in Abhängigkeit von $t \in \mathbb{R}$, eine Basis für das orthogonale Komplement von $U_{t}$ in $\mathbb{R}^{4}$.
(c) Bestimmen Sie, für $t=7$, eine Orthonormalbasis für $U_{t}$.

Hallo hat jemand einen Ansatz für die (b)? Ich Weiß nicht so ganz, wie ich das orthogonale Komplement bestimme.

Also Ich habe die beiden Vektoren (t, -1, t+1, 4) und (2, 0, 3, 1) als Basis in ZSF gebracht und komme da auf

1      0      3/2      1/2    = 0

0      1  -1/2t+1  4-1/2t  = 0

Irgendwie kriege ich es nicht hin die LGS zu lösen.

Answer 1

1      0      3/2      1/2    = 0

0      1  -1/2t+1  4-1/2t = 0

==>   Die 3. und die 4. Komponente sind frei wählbar

x3= u und x4=v , also

x2 = (t/2-1)u + (-4+t/2)v und

x1 = (-3/2)u -(1/2)v . Damit sind sind Lösungen 4-Tupel von der Form

(-3/2)u -(1/2)v                (     -3/2  )               (  -1/2) 
(t/2-1)u + (-4+t/2)v     =    (  t/2-1    )   *u +    (-4+t/2)   * v                         
         u                            (    1     )                   (  0 ) 
         v                             (    0     )                  (  1  )

Und du kannst die beiden möglichen Basisvektoren ablesen.