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Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { (i) Gegeben Sei der Untervektorraum }} \\ {\qquad U=\left\langle\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{0} \\ {2} \\ {-6}\end{array}\right)\right\rangle \subset \mathbb{R}^{3} \text { . }} \\ {\text { Bestimmen Sie das orthogonale Komplement } U^{\perp}=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} |\langle x, u\rangle= 0 \forall u \in U\right\} \text { von } U \text { beziglich des Stan- }} \\ {\text { dardskalarproduktes. }}\end{array}$$


Problem/Ansatz:
Wie geht man hier am effektivsten vor um entsprechende Basisvektoren zu finden?
Vielen Dank im Voraus!

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TeX und LaTex sind Hilfsmittel für Formeln!! Es ist nicht Sinn und Zweck komplette Texte damit zu schreiben.

1 Antwort

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Wie du sicher weißt (wenn nicht: Übung!), ist das Orthogonale Komplement \(T\) von \(U\) tatsächlich ein Komplementärraum von \(U\), bedeutet \(U+T\cong \mathbb{R}^3\) und \(U\cap T = 0\). Bedeutet also sofort, dass \(T\) eindimensional sein muss, du musst also nur einen einzigen Vektor außer 0 in \(T\) finden, dann bist du fertig. Nach Bilinearität des Skalarprodukts reicht es aus, einen Vektor zu finden, der orthogonal auf beiden Basisvektoren von \(U\) steht. Fällt dir da etwas bestimmtes ein?





Spoiler: Das Kreuzprodukt aus der Schule macht den Job. Dass das Ergebnis des Kreuzproduktes tatsächlich orthogonal auf den beiden Eingaben steht, darfst du natürlich selbst nachrechnen ;)


LG

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