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Aufgabe:
Gegeben ist das Funktional

F: C^{1}([0,1]) -> R  u |-> F[u] = \( \int\limits_{0}^{1} \) u'(x) dx


Es sei weiter das Funktional

G[u]=\( \int\limits_{0}^{1} \) u(x)2 dx

gegeben. Benutzen sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren um einen Kandidaten für ein Extremum von \( F \) mit der Nebenbedingung G[u]=1  zu finden. Berechnen Sie zuerst die Extremal-Lösung und dann den Lagrange-Multiplikator mit Hilfe der Nebenbedingung.
Hinweis: Das zu minimierende Lagrange-Funktional ist gegeben durch


L[u, λ]=F[u]+λ*G[u] .

Problem/Ansatz
Hallo

ich kenne die Lagrange multiplikatoren mit funktionen aber ich weiß nicht wie ich das auf funktionale bzw in der aufgabe anwenden soll.…

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Gibt es noch Randbedingungen für die Funktion \( u(t) \)? Also z.B. \( u(0) = 0 \) und \( u(1) = 0 \)?

1 Antwort

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Das Ganze ist ein Variationsproblem bei der man die Euler-Lagrange Gleichungen benutzen muss.

Das zu minimierende Funktional ist $$ F(u) = \int_0^1 [u'(x)]^2 dx $$ mit z.B. \( u(0) = u(1) = 0 \) und der Nebenbedingung $$ G(u) = \int_0^1 [u(x)]^2 dx = 1 $$

Die Lagrangefunktion ist dann $$ L(u,\lambda) = F(u) + \lambda G(u) $$ Die Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben dann die folgende Dgl. für die Funktion \( u \)

$$ (1) \quad u'' = \lambda u $$ mit \( u(0) = u(1) = 0 \)

Für \( \lambda \ge 0 \) ergibt sich aus (1) nur die triviale Lösung \( u \equiv 0 \).

Für \( \lambda = -\mu^2 < 0 \) ergibt sich aus (1) die Lösung $$  u(t) = A \sin(\mu t) + B \cos( \mu t) $$

Wegen \( u(0) = 0 \) folgt \( B = 0 \) und die Lösungen sind $$ u(t) = A \sin(\mu t) $$ wegen \( u(1) = 0 \) folgt

$$  A \sin(\mu) = 0 $$ Damit hier nicht auch nur triviale Lösungen raus kommen muss gelten \( \mu = n \pi \)

Damit sind die Eigenwerte (Lagrange Multiplikator) \( \lambda = - n^2 \pi^2 \) und die Lösung ist $$  u(t) = A \sin( \pi n t)$$

Aus der Nebenbedingung folgt $$ \int_0^1 \left( A \cdot \sin(\pi n t) \right)^2 dt = \frac{A^2}{2} = 1 $$ also \( A = \pm \sqrt{2} \) und das Funktional \( F(u) \) wird zu

$$ \int_0^1 \left( A \pi n \cos(\pi n t) \right)^2 dt = \pi^2 n^2 $$ Das Minimum wird also für \( n=1\) angenommen, also für die Funktion $$  u(t) = \pm \sqrt{2} \sin(\pi t ) $$

Avatar von 39 k

kannst du mir erklären wie du auf u(t) gekommen bist ?

Welche Stelle in der Herleitung meinst Du? Wie ich auf \( u'' = \lambda u \) komme oder später?

Sind die angenommenen Randbedingungen \( u(0) = u(1) = 0 \) korrekt?

Hattet ihr schon Variationsrechnung und die Euler-Lagrange Gleichungen?

ja passt alles danke ^^ 
das mit u(t) = A sin(mu*t) und wie du auf lamda = -mu^2 gekommen bist :D

Die Gleichuung (1), \( u'' + \mu^2 u = 0 \), hat die Eigenwerte \( \alpha=\pm i \mu \) und damit ist die allg. Lösung von (1) $$  u(t) = A \sin(\mu t ) + B \cos(\mu t) $$ mit den Anfangsbedingungen folgt $$ u(0) = B = 0 $$ Also sieht die Lösung folgendermaßen aus

$$ u(t) = A \sin(\mu t) $$ und wegen \( u(1) = 0 \) folgt, wie oben schon erklärt, \( \mu = \pi n \)  und wegen

\( \lambda = -\mu^2 \) folgt \( \lambda = -n^2 \pi^2 \)

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