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Aufgabe:
Gegeben ist das Funktional

F: C^{1}([0,1]) -> R  u |-> F[u] = \( \int\limits_{0}^{1} \) u'(x) dx


Es sei weiter das Funktional

G[u]=\( \int\limits_{0}^{1} \) u(x)2 dx

gegeben. Benutzen sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren um einen Kandidaten für ein Extremum von \( F \) mit der Nebenbedingung G[u]=1  zu finden. Berechnen Sie zuerst die Extremal-Lösung und dann den Lagrange-Multiplikator mit Hilfe der Nebenbedingung.
Hinweis: Das zu minimierende Lagrange-Funktional ist gegeben durch


L[u, λ]=F[u]+λ*G[u] .

Problem/Ansatz
Hallo

ich kenne die Lagrange multiplikatoren mit funktionen aber ich weiß nicht wie ich das auf funktionale bzw in der aufgabe anwenden soll.…

von

Gibt es noch Randbedingungen für die Funktion \( u(t) \)? Also z.B. \( u(0) = 0 \) und \( u(1) = 0 \)?

1 Antwort

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Das Ganze ist ein Variationsproblem bei der man die Euler-Lagrange Gleichungen benutzen muss.

Das zu minimierende Funktional ist $$ F(u) = \int_0^1 [u'(x)]^2 dx $$ mit z.B. \( u(0) = u(1) = 0 \) und der Nebenbedingung $$ G(u) = \int_0^1 [u(x)]^2 dx = 1 $$

Die Lagrangefunktion ist dann $$ L(u,\lambda) = F(u) + \lambda G(u) $$ Die Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben dann die folgende Dgl. für die Funktion \( u \)

$$ (1) \quad u'' = \lambda u $$ mit \( u(0) = u(1) = 0 \)

Für \( \lambda \ge 0 \) ergibt sich aus (1) nur die triviale Lösung \( u \equiv 0 \).

Für \( \lambda = -\mu^2 < 0 \) ergibt sich aus (1) die Lösung $$  u(t) = A \sin(\mu t) + B \cos( \mu t) $$

Wegen \( u(0) = 0 \) folgt \( B = 0 \) und die Lösungen sind $$ u(t) = A \sin(\mu t) $$ wegen \( u(1) = 0 \) folgt

$$  A \sin(\mu) = 0 $$ Damit hier nicht auch nur triviale Lösungen raus kommen muss gelten \( \mu = n \pi \)

Damit sind die Eigenwerte (Lagrange Multiplikator) \( \lambda = - n^2 \pi^2 \) und die Lösung ist $$  u(t) = A \sin( \pi n t)$$

Aus der Nebenbedingung folgt $$ \int_0^1 \left( A \cdot \sin(\pi n t) \right)^2 dt = \frac{A^2}{2} = 1 $$ also \( A = \pm \sqrt{2} \) und das Funktional \( F(u) \) wird zu

$$ \int_0^1 \left( A \pi n \cos(\pi n t) \right)^2 dt = \pi^2 n^2 $$ Das Minimum wird also für \( n=1\) angenommen, also für die Funktion $$  u(t) = \pm \sqrt{2} \sin(\pi t ) $$

von 37 k

kannst du mir erklären wie du auf u(t) gekommen bist ?

Welche Stelle in der Herleitung meinst Du? Wie ich auf \( u'' = \lambda u \) komme oder später?

Sind die angenommenen Randbedingungen \( u(0) = u(1) = 0 \) korrekt?

Hattet ihr schon Variationsrechnung und die Euler-Lagrange Gleichungen?

ja passt alles danke ^^ 
das mit u(t) = A sin(mu*t) und wie du auf lamda = -mu^2 gekommen bist :D

Die Gleichuung (1), \( u'' + \mu^2 u = 0 \), hat die Eigenwerte \( \alpha=\pm i \mu \) und damit ist die allg. Lösung von (1) $$  u(t) = A \sin(\mu t ) + B \cos(\mu t) $$ mit den Anfangsbedingungen folgt $$ u(0) = B = 0 $$ Also sieht die Lösung folgendermaßen aus

$$ u(t) = A \sin(\mu t) $$ und wegen \( u(1) = 0 \) folgt, wie oben schon erklärt, \( \mu = \pi n \)  und wegen

\( \lambda = -\mu^2 \) folgt \( \lambda = -n^2 \pi^2 \)

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