Bestimmen sie B derart, dass f:B→ℝ sich S als Graph der Funktion f schreiben lässt.

Question

Aufgabe:

Es sei S={$$(x,y,z)\in \mathbb{R}|z+\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1$$} mit $$z\geq0$$

a) Bestimmen sie B derart, dass $$f:B\rightarrow\mathbb{R}$$ sich S als Graph der Funktion f schreiben lässt.

b) Berechnen sie den Flächeninhalt $$σ(S)$$

c) Geben sie eine parameterdarstellung der Randkurve dS an

d) Berechnen sie für das Vektorfeld $$\vec{v}(x,y,z)=(yz,0,\frac{xy}{2})$$ das Integral $$\int \limits_{S}^{}(rot\vec{v},\vec{n})dσ$$ an

Problem/Ansatz:

Ich hätte eine Frage zur Aufg. a): Hier muss ich ja scheinbar die Fläche S als Normalbereich B schreiben.

Nun bin ich mir nicht ganz sicher wie man das hier anstellt, da ich es immer nur mit 2 Variablen gemacht habe bisher.

Im ersten Schritt habe ich gesehen, dass $$0\leq z \leq 1$$ gelten muss.

Daraufhin habe ich dann geguckt, wie sich x und y verhalten, wenn z=0 und wenn z=1.

Für z=0 kommt man dann ja auf $$x^2+y^2=4$$

Für z=1 müssen x und y gleich Null sein.

Nun bin ich mir aber nicht sicher, wie man hier weiterrechnen muss. Könnte mir da jemand evtl. einen Tipp geben bitte?

Daraufhin konnte ich

Answer 1

Aloha :)

zu a) Parameterdarstellung

$$S=\left\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\bigg|\,z+\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1\;\land\;z\ge0\right\}$$Zur Beschreibung der Punkte aus $S$ bieten sich Polarkoordinaten an:$$x=r\cos\varphi\quad;\quad y=r\sin\varphi\quad;\quad r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$Die Darstellung der $z$-Koordinate folgt aus der ersten Bedingung$$z=1-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1-\frac{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}{4}=1-\frac{r^2}{4}$$und die zweite Bedingung schränkt das Intervall für $r$ ein:$$z\ge0\implies1-\frac{r^2}{4}\ge0\implies\frac{r^2}{4}\le1\implies r^2\le4\stackrel{(r\ge0)}{\implies} r\le2$$Damit haben wir eine Menge $B$ und eine Funktion $\vec f$ gefunden, mit der wir alle Punkte aus $S$ abtasten können:$$\vec f(r,\varphi)=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\1-\frac{r^2}{4}\end{pmatrix}\quad;\quad (r;\varphi)\in B\coloneqq[0;2]\times[0;2\pi]$$

zu b) Flächeninhalt

Zur Bestimmung des Flächeninhalts müssen wir das Flächenelement $dA=dx\,dy$ in die Polarkoordinaten-Darstellung von oben umrechnen:

$$dA=\left|\frac{\partial\vec f}{\partial r}\,dr\right|\times\left|\frac{\partial\vec f}{\partial\varphi}\,d\varphi\right|=\left|\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\-\frac12r\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\right|\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{dA}=\left|\begin{pmatrix}\frac12r^2\cos\varphi\\[1ex]\frac12r^2\sin\varphi\\r\end{pmatrix}\right|\,dr\,d\varphi=\frac r2\left|\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\[1ex]r\sin\varphi\\2\end{pmatrix}\right|\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{dA}=\frac r2\sqrt{(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2+2^2}\,dr\,d\varphi=\frac r2\sqrt{r^2+4}\,dr\,d\varphi$$

Damit erhalten wir den gesuchten Flächeninhalt:$$\sigma(S)=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\frac r2\sqrt{r^2+4}\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^2\frac r2(r^2+4)^{\frac12}\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=\left[\frac r2\,\frac{(r^2+4)^{\frac32}}{\frac32\cdot2r}\right]_{r=0}^2\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}$$$$\phantom{\sigma(S)}=\left[\frac{(r^2+4)^{\frac32}}{6}\right]_{r=0}^2\cdot2\pi=\left(\frac{8\sqrt2}{3}-\frac43\right)\cdot2\pi=\frac{8(2\sqrt2-1)}{3}\,\pi\approx15,3178\;\mathrm{FE}$$

zu c) Randkurve

Die Randkurve erhalten wir für $r=2$:$$\vec r(\varphi)=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Das ist ein Kreis mit Radius $2$ in der $xy$-Ebene.

zu d) Integral für Vektorfeld

Das gesuchte Integral über die Fläche $S$ führen wir mit dem Stokes'schen Satz $(d\vec r=d\vec A\times\vec\nabla)$ auf ein Integral über den geschlossenen Rand $\partial S$ der Fläche zurück:

$$I=\int\limits_{S}\operatorname{rot}\vec v\,d\vec A=\int\limits_S\left(\vec\nabla\times\vec v\right)\,d\vec A=\int\limits_S\left(d\vec A\times\vec\nabla\right)\,\vec v=\oint\limits_{\partial S}d\vec r\,\vec v=\oint\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\vec v(\varphi)\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi$$Die Parametrisierung $\vec r(\varphi)$ des Randes entnehmen wir Teil (c):$$I=\oint\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}yz=2\sin\varphi\cdot0\\0\\\frac{xy}{2}=\frac{2\cos\varphi\cdot2\sin\varphi}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\,d\varphi=\oint\limits_{\varphi=0}^{2\pi}0\,d\varphi=0$$

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort :)

Das ist jetzt alles verständlich.

Ich hätte aber noch eine Frage.

Ich hätte gedacht, dass B ein Normalbereich sein soll, also so definiert wie ich es oben geschrieben habe in einem anderem Kommentar.

Zumindest hießen bei uns in der Vorlesung die Normalbereiche immer B, während bei dir das B ja aus den Parametern der Kreiskoordinaten kommt.

Aber meine eigentliche Frage ist, wie kommt man darauf, dass die Randkurve von S der kreis mit Radius 2 ist.

Weil S ist doch eigentlich 3-dimensional, während der Kreis hier 2-dimensional ist.

Wie kommt man darauf? Und auch, wie kommt man darauf, gerade den Radius 2 einzusetzen, gerade weil S ja 3-dimensional ist.

Ist das, weil man sozusagen von oben auf den Kegel draufschaut? Oder hat es mit etwas anderem etwas zu tun?

Aber schonmal vielen Dank für die gute Antwort :)

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Du musst dich bei dem Begriff "Dimension" von der räumlichen Vorstellung lösen. Eine "Dimension" ist ein wählbarer Parameter, ein sogenannter "Freiheitsgrad".

Bei den Punkten aus $S$ kannst du zwei Koordinaten wählen, z.B. $x$ und $y$. Die dritte Koordinate ist dann durch die Bedingung$$z+\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1$$vorgegeben, also nicht mehr wählbar. $S$ hat daher 2 Freiheitsgrade, ist also ein 2-dimensionales Objekt. Genauer ist es eine gekrümmte 2-dimensionale Fläche im 3-dimensionalen Raum.

Der Parameter $\varphi$ sorgt für die radiale Symmetrie, der Parameter $r$ bestimmt die Ausdehnung. Bei maximaler Ausdehnung ist $r=2$. Das ist der Rand von $S$.

Answer 2

Hallo

nimm als B einfach z=0 dann ist S der Einheitskreis.

lul

Comments

Darf ich z einfach so festlegen, dass es nicht variabel ist?

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Also kann ich einfach sagen dass B={(x,y,z) $$-2 \leq x \leq 2 ; 0 \leq y \leq \sqrt{4-x^2}$$ ; z=0 } ist?

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Außerdem frage ich micht, wie man f als Graph von f schreibt.

Kommt man auf f, indem man den Normalbereich B irgendwie umstellt?

Also in b) den Flächeninhalt berechnen würde man nämlich denke ich, indem man den Graphen f nach x und y ableitet, und dann das Kreuzprodukt von fx und fy berechnet, und dann das Integral von dem (fx)x(fy) mit den Kreiskoordinaten berechnet.

Aber ich verstehe nicht, wie man hier auf f kommen soll.

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außerdem muss noch bei dem y auf die linke Seite ein -sqrt(4-x²) anstatt der 0 ist mir aufgefallen