Jeder Vektor aus V lässt sich eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus B schreiben. Wieso?

Question

Situation:
Ich verstehe den Satz: Jeder Vektor aus \(V\) lässt sich eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus
\(B\) schreiben.

Problem/Ansatz:

Sei \(V = \mathbb{R}^2, \\ B = \{ e_1 = ( 1 , 0 ) , e_2 = ( 0 , 1 ) \} \)

Ein Vektor aus V könnte ja v = ( 10 , 2 ) sein. 

Dann kann ich v so darstellen:

v = ( 10 , 2 ) = 10*( 1 , 0 ) + 2*( 0 , 1 ) 

Frage:

Bevor ich jede mögliche Vektoren selbst überprüfe: 
Hat wirklich jeder Vektor aus V nur eine eindeutige Darstellung im obigen Sinne als Linearkombination falls B eine Basis von V ist ?

Answer 1

Ja, so ist es. Wenn die Elemente von B allerdings KEINE Basis

bilden, dann sind entweder mache Vektoren gar nicht als

Linearkombination darzustellen oder es gibt für manche

mehrere Möglichkeiten.

Answer 2

Hallo limonade,

die Matrix A enthalte die Basisvektoren der Basis B des Vektorraums V (Dimension n) als Spaltenvektoren. Da eine Basis ein Erzeugendensystem ist, kannst du jeden Vektor v als Linearkombination der Basis darstellen. Wenn du das mit dem Gauß-Algorithmus machst, hast du die Ausgangsmatrix

( A | v )  und die Endform ( A_E | v_E )

Wenn v der Nullvektor ist, erkennt man bei A_E  in der Zeilenstufenform den Rang n, weil sich - wegen der linearen Unabhängigkeit von B - eindeutig die triviale Darstellung des Nullvektors ergeben muss.

Wenn du jetzt einen beliebigen Vektor v hast, ändert sich beim GA  an A_E nichts.

Das zugehörige LGS ist also weiterhin eindeutig lösbar.

Die Lösungen sind die (eindeutigen) Koordinaten von v bzgl. der Basis B.

Ich hoffe, ich konnte diesen Versuch einer anschaulichen Begründung verständlich aufschreiben :-)

Gruß Wolfgang

Comments

 

Wenn v der Nullvektor ist, erkennt man bei AE  in der Zeilenstufenform den Rang n, weil....

Frage:
Was ist AE ?

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Die Endmatrix, die sich beim Gauß-Algorithmus ergibt.

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(AI0) sozusagen falls v = 0 ist. Oder?

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Perfekt ! Vielen Dank !

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Ja, und immer noch immer wieder gern :-)