berechnete Reihenwerte online prüfen, Tipps

Question

Aufgabe:

Berechne den Reihenwert von \(\sum \limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}\)

Problem/Ansatz:

$$S_n=\sum \limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k(k-1)}=\sum \limits_{k=2}^{k}\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=1-\frac{1}{n} \rightarrow 1$$

Es irritiert mich ein wenig, dass das gleiche Ergebnis wie für \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\) herauskommt, habe ich einen Fehler gemacht?

Welches kostenlose Online-Tool empfehlt ihr mir um Ergebnisse für Reihen selbst zu prüfen?

Answer 1

∑ (n = 2 bis ∞) (1/(n·(n - 1)))

Ersetze mal

n - 1 = a bzw n = a + 1

∑ (a + 1 = 2 bis ∞) (1/((a + 1)·(a + 1 - 1)))

= ∑ (a = 1 bis ∞) (1/((a + 1)·a))

Jetzt siehst du das man die eine Summe in die andere umformen kann und dort also das gleiche herauskommen muss. Du hast einfach nur eine Indexverschiebung gemacht.

Als kostenloses Tool empfehle ich meist Wolframalpha.

Als App ist es zwar kostenpflichtig, liefert dann aber auch teilweise Schritt für Schritt Lösungen mit.