Berechne alle Lösungen von z^5=1−i.

Question

Aufgabe:

Berechne alle Lösungen von z⁵=1−i. Schreibe die Lösungen in der Form z_k=r_k⋅e^iφk,k=1,...,5 mit einer Genauigkeit von mindestens zwei Nachkommastellen an. Trage die Winkel der Grösse nach ein: φ₁<φ₂<φ₃<φ₄<φ₅. Hinweis: Vewende bitte stets nicht gerundete Zwischenergebnisse, wenn sie für weitere Rechnungen benötigt werden. Runde bitte erst für die Endergebnisse auf zwei Stellen.

Problem/Ansatz:

z₁=r₁⋅e^iφ₁ mit r₁=? und φ₁=?
z₂=r₂⋅e^iφ₂ mit r₂=1 und φ₂=?
z₃=r₃⋅e^iφ₃ mit r₃=1 und φ₃=?
z₄=r₄⋅e^iφ₄ mit r₄=1 und φ₄=?
z₅=r₅⋅e^iφ₅ mit r₅=1 und φ₅=?

φ ist doch eigentlich sgn(v)*arccos(u/r) wenn ich zⁿ=u+i*v annehme und r = \( \sqrt{u^2+v^2} \) , soweit bin ich richtig oder?

Answer 1

z^5 = 1 - i = √2·e^{(k·2·π - π/4)·i}

z = ¹⁰√2·e^{(k·2/5·π - π/20)·i} mit k ∈ ℤ

Comments

Dankeschön dafür, war schon auf dem richtigen Weg, aber ein bisschen hakt es noch.

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aber ein bisschen hakt es noch.

Wobei hakt es denn genau? Skizzieren kannst du die komplexe Zahl 1 - i ?

Du weißt auch wie du die Länge und den Winkel bestimmst und das dann als e-Term schreibst?