Wie löst man dieses Anfangswertproblem der 1.DGL

Question

Aufgabe: DGL 1. Ordnung Lösen sie dieses Anfangswertproblem:

(x′ +1)t=x+1,  x(1)=1

…

Problem/Ansatz: Ich habe zu der Aufgabe zwei arten gefunden wie man anfängt aufzulösen und es kommt bei beidem ein unterschiedliches Ergebnis raus. Ich wollte fragen, welcher Rechenweg richtig ist.

1.Rechenweg                            2.Rechenweg

(x′ +1)t=x+1                              (x′ +1)t=x+1 

x't + t = x +1 |-t                          x't + t = x +1 |-t

x't = x-t+1                                  x't = x-t+1 |:t

                                               x = (x-t+1)/t

Homogeneteil:                          Homogeneteil:

x't=x                                        x' = (x+1)/t

Comments

Der 1. Rechenweg ist richtig.

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Ein alternativer Ansatz:$$\begin{aligned}(x^\prime+1)t&=x+1\\\frac{x^\prime t-x}{t^2}&=\frac1{t^2}-\frac1t\\\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac xt&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(-\frac1t-\log t\right)\\\frac xt&=-\frac1t-\log t+c\\x&=-1-t\log t+ct.\end{aligned}$$

Answer 1

Mit einem CAS sieht das so aus