Wie prüfe ich im allgemeinen, ob eine Funktion eine quadratische Form ist?

Question

Aufgabe:

Wie prüfe ich im allgemeinen, ob eine Funktion eine quadratische Form ist?

Im Beispiel:

Abbildung ℝ³ —> ℝ, (x,y,z) ↦x² - (y+z)²

Problem/Ansatz:

Wie zeige ich das? Ich möchte auch gerne im Allgemeinen wissen, wie ich das prüfe.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Die allgemeine quadratische Form lautet:$$B(x;y;z)=\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix}\left(\begin{array}{ccc}a_{xx} & \frac12a_{xy} & \frac12a_{xz}\\[1ex]\frac12a_{xy} & b_{yy} & \frac12a_{yz}\\[1ex]\frac12a_{xz} & \frac12a_{yz} & a_{zz}\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$$$\phantom{B(x;y;z)}=a_{xx}x^2+a_{yy}y^2+a_{zz}z^2+a_{xy}xy+a_{xz}xz+a_{yz}yz$$Beachte, dass die Matrix symmetrisch ist.

Wenn du das verinnerlicht hast, kannst du die Matrix für diese Aufgabe sofort angeben:$$A(x;y;z)=x^2-(y+z)^2=x^2-y^2-2yz-z^2$$$$\phantom{A(x;y;z)}=\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix}\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & -1 & -1\\0 & -1 & -1\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$

Wenn eine solche Matrix nicht existiert, liegt auch keine quadratische Form vor.

Answer 2

Unter einer Form versteht man in der Algebra ein Polynom oder eine

polynomiale Abbildung,

die in den Unbestimmten homogen ist. Eine quadratische Form $q$

ist homogen vom Homogenitätgrad 2.

Es gilt also $q(c\cdot x_1,\cdots, c\cdot x_n)=c^2\cdot q(x_1,\cdots,x_n)$,

wobei die $x_1,\cdots,x_n$ Unbestimmte sind, bzw.

$(x_1,\cdots,x_n)\in K^n$ ist. Eine andere Charakterisierung ist,

dass $B(v,w):=\frac{1}{2}(q(v+w)-q(v)-q(w))$ mit $v,w\in V$,

$V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum,

eine symmetrische Bilinearform ist.