Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir betrachten die Summe$$S=\sum\limits_{k=0}^{x^2+8}\left(\binom{x^2+6}{x^2+6-k}+\binom{x^2+6}{x^2+7-k}+\binom{x^2+7}{x^2+8-k}\right)$$
Wegen \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) gilt:$$S=\sum\limits_{k=0}^{x^2+8}\left(\binom{x^2+6}{(x^2+6)-k}+\binom{x^2+6}{(x^2+6)-(k-1)}+\binom{x^2+7}{(x^2+7)-(k-1)}\right)$$$$\phantom S=\sum\limits_{k=0}^{x^2+8}\left(\binom{x^2+6}{k}+\binom{x^2+6}{k-1}+\binom{x^2+7}{k-1}\right)$$
Wir erinnern uns an die Rekursionsgleichung:$$\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$$und wenden diese zwei Mal an:$$S=\sum\limits_{k=0}^{x^2+8}\left(\overbrace{\underbrace{\binom{x^2+6}{k}+\binom{x^2+6}{k-1}}_{=\binom{x^2+7}{k}}+\binom{x^2+7}{k-1}}^{=\binom{x^2+8}{k}}\right)=\sum\limits_{k=0}^{x^2+8}\binom{x^2+8}{k}$$
Schließlich kramen wir den binomischen Lehrsatz$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$aus dem Gedächtnis hervor uns finden:$$S=\sum\limits_{k=0}^{x^2+8}\binom{x^2+8}{k}\cdot1^{(x^2+8)-k}\cdot1^k=(1+1)^{x^2+8}=2^{x^2+8}$$
