Funktionswerte von Potenzreihen berechnen

Question

Hey zusammen,
ich habe ein kleines Verständnisproblem was Potenzreihen angeht, vielleicht kann mir das ja jemand hier erklären :)

Hier mein Problem:

Wenn ich eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt 0 habe (z.B. die von cos(x)) und jetzt zum Beispiel f(3) ausrechnen möchte, setze ich ja einfach 3 für x in die Potenzreihe ein und sollte mal zumindest eine recht gute Näherung für f(3) erhalten. Wenn ich jetzt aber x=0 einsetze, dann wird ja der ganze Term unter der Summe zu 0 und die Reihe ergibt somit irgendwie keinen Sinn mehr. Wie kann ich denn jetzt f(x=0) ausrechnen?

Vielleicht habe ich da einen Denkfehler oder bei der Definition von Potenzreihen was nicht ganz verstanden.
Ich bin froh über jeden (konstruktiven) Hinweis :)

Comments

Bei Potenzreihen wird mit der Konvention 0^0 = 1  gearbeitet

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Das erklärt einiges! Vielen Dank!

Answer 1

Die Potenzreihe für den Cosinus mit ( x_0 = 0 \) sieht so aus

$$ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}  $$

Somit folgt $$ \cos(0) = 1 $$

Comments

Okay das erklärt definitiv die Potenzreihe des Cosinus, vielen Dank. Wie ist das bei Potenzreihen, bei denen man nicht unbedingt die Funktion kennt, kann man da auch grundsätzlich davon ausgehen, dass f(0) einfach 0 ist?
Bsp.: $$f(x)=\sum \limits_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{ln(n)}$$

Hier lässt sich kein Term ohne x "aus der Summe ziehen", also ist der Wert für f(0) einfach =0?

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Bei dem Beispiel ist es so. $$ f(0) = \frac{0^2}{\ln(n)} + \frac{0^3}{\ln(n)} + \frac{0^4}{\ln(n)} + .... = 0$$