Aufgabe: Skizzieren Sie die folgende Menge in der komplexen Zahlenebene:
M2={z ∈ℂ:|z|<|z-2i|<3}
Problem: Wie kommt man hier von : x2 + (y-2)2 <9 auf den Mittelpunkt (0,2i) und den Radius 3 ?
Text erkannt:
(b) Diese Menge enthält Punkte, die im Inneren des Kreises um \( 2 i \) mit Radius 3 und unterhalb von der Gerade \( \operatorname{Im}(z)=1 \) liegen. Denn mit \( z=x+i y \) gilt
\( |z|<|z-2 i|<3 \Longleftrightarrow|x+i y|^{2}<|x+i y-2 i|^{2}<3^{2} \Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}<x^{2}+(y-2)^{2}<9 . \)
Einerseits erhalten wir aus \( x^{2}+(y-2)^{2}<9 \) das Innere des Kreises um \( (0,2 i) \) mit Radius 3 , andererseits erhalten wir aus \( x^{2}+y^{2}<x^{2}+(y-2)^{2} \Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}<x^{2}+y^{2}-4 y+4 \Longleftrightarrow 4 y<4 \) die Menge \( \{x+i y \in \mathbb{C}: y<1\} . \)
