Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen in (0,0) existieren.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen in (0,0) existieren.

Problem/Ansatz:

Sei f: R^2 -> R definiert durch

f(x,y)= 1 , falls 0<y<x^2  . sonst 0.

Muss ich alle möglichen Fälle durchgehen und zeigen, dass ne zahl rauskommt

Comments

Ja, so steht es in der Aufgabe

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und welche fälle muss ich betrachten?

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Fang doch mal einfach an. Nimm die Richtungen längs der Koordinstenachsen, dann die Winkelhalbierenden .....

Answer 1

Sei \(A=\{(x,y):\; 0<y<x^2\}\). Nun zeige:

Zu jedem \(h=(x_0,y_0)\neq (0,0)\) gibt es ein \(r>0\),

so dass \(t\cdot h\notin A\; \forall t\in (-r,r)\).

Dann gilt nämlich$$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f((0,0)+t\cdot h)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t\cdot h)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0}{t}=0.$$