Interpretiere im Sachzusammenhang Integral

Question

Aufgabe:

Aus einem Tank fließt langsam Wasser ab. Die Abflussrate kann für eine bestimmte Zeit t durch eine Funktion f(t) beschrieben werden.

1) Welche Bedeutung hat hier dessen Stammfunktion im Sachzusammenhang

Problem/Ansatz:

also F bestimmt ja die Fläche unter dem Graph der  Funktion f, aber was bedeutet das so richtig. Vielleicht wie schnell es abfließt? Danke schonmal

Answer 1

Die Abflussrate

Einheit ist zum Beispiel $\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}$, also Kubikmeter pro Stunde.

kann für eine bestimmte Zeit t

Einheit ist zum Beispiel $\mathrm{h}$.

also F bestimmt ja die Fläche unter dem Graph der Funktion f

Die Fläche eines Rechtecks berechnet man, indem man Seitenlängen multipliziert.

Bei einem Funktionsgraphen ist das nicht so einfach. Aber wenn du dich mal an Ober- und Untersummen erinnerst, dann wurden auch da Seitenlängen multipliziert. In deinem Beispiel wird dann eine Seite der Einheit $\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}$ mit einer Seite der Einheit $\mathrm{h}$ multipliziert. Ergebnis ist

        $\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}\cdot \mathrm{h} = \mathrm{m}^3$,

also ein Volumen. Die Stammfunktion gibt also in diesem Fall ein Volumen an.

1) Welche Bedeutung hat hier dessen Stammfunktion im Sachzusammenhang

Die Frage ist ungenau formuliert. Die Funktion $f$ hat unendlich viele Stammfunktionen. Man kann also nicht von der Stammfunktion reden, solange keine konkrete Stammfunktion angegeben wurde.

$F$ gibt das Volumen an, das ab einem fest gewählten Zeitpunkt $t_0$ bis zum Zeitpunkt $t$ abgeflossen ist. Der Zeitpunkt $t_0$ hängt von der verwendeten Stammfunktion ab. Und zwar ist $t_0$ eine Nullstelle der verwendeten Stammfunktion.

Vielleicht wie schnell es abfließt?

Das nennt man Abflussrate und wird laut Aufgabenstellung durch die Funktion $f$ beschrieben.

Comments

Mir wurde eine konkrete Funktion gegeben, mir ging es nur und Prinzip. Also gibt F quasi die Menge von Wasser an die in einem Zeitintervall fließt??

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Ja. Und zwar im Intervall von der Nullstelle von $F$ bis zum Zeitpunkt $t$.

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Vielen Dank für die Hilfe!