Zusammenhang Hauptraumindex und geometrische Vielfachheit

Question

Sei eine komplexe Matrix der Größe 5x5 mit den Eigenwerten 1 und 2, sowie einer Spur von 7.

Dann folgt für die JNF dass auf der Diagonalen drei 1 und zwei 2 stehen müssen.

Wenn weiter bekannt ist dass   (A-2Id)² (A-1Id)² ≠0 dann soll daraus folgen, dass mindestens ein Jordankästchen größer als Länge 3 sein muss.

Ich verstehe dass aus (A-2Id)² (A-1Id)² ≠0 folgt dass (A-1Id)² ≠0 und (A-2Id)² ≠0 was bedeutet, dass der Index des Hauptraums von mindestens einem der beiden Eigenwerten größer als 2 sein muss. Aber wie komme ich darauf dass die Jordankästchengröße bzw. die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts größer als 3 sein muss?

Ih hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Danke im Voraus!

Comments

dass mindestens ein Jordankästchen größer als Länge 3 sein muss.

Muss es nicht heißen:

dass die Länge eines Jordankästchens \(\geq 3\) sein muss ?

Das wäre dann das 3x3-Kästchen, das zu 1 gehört.

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Oh ja du hast recht

Answer 1

Das charakteristische Polynom hat die Linearfaktorzerlegung

\(P=(X-1)^3(X-2)^2\) und die angegebene Eigenschaft über das Nichtverschwinden

von \((A-1\cdot Id)^2(A-2\cdot Id)^2\) besagt, dass das Minimalpolynom

nicht die Gestalt \((X-1)^2(X-2)^2\) hat, sondern gleich dem

charakteristischen Polynom ist ...