Abstand zwischen Punkt P(7|2) und Kurve y= -x^2 minimieren.

Question

Wie bestimme ich den kürzesten Abstand des Punktes P(7/2) von der Kurve y(x)= -x² ?

Answer 1

y = -x^2     enthält die Punkte Q(x, -x^2)

Minimiere das Quadrat der Abstände.

d^2 = |PQ|^2 = (x-7)^2 + (-x^2 - 2)^2


= (x-7)^2 + (x^2 + 2)^2

= x^2 -14x + 49 + x^4 + 4x^2 + 4

= x^4 + 5x^2 - 14x + 53

Nun erst mal nachrechnen, ableiten, Nullstellen der Ableitung bestimmen, etc.

Comments

Und durch welche operation erhalte ich dann den Abstand ?


Ich muss ja keine Kurvendiskussion aufstellen ....

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Sobald du x bestimmt hast (Nullstellen der Ableitung), gehst du damit in diese Formel:

d² = |PQ|² = (x-7)² + (-x² - 2)²

und ziehst dann noch die Wurzel.

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Ich glaub in deiner ersten Rechnung in der letzten Zeile stimmt was nicht... wie kann es sein dass 5x² dort steht und die 49 verschwinden ?

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Desweiteren wenn ich das 2 mal ableite steht dann 12x²+20 , somit ist x keine reelle Lösung mehr.

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12x²+20> 0 das ist ja gut.

Heisst, dass man auf jeden Fall ein rel. Minimum gefunden hat bei der Nullstelle der ersten Ableitung.

49+4 = 53,  ( ist korrigiert).

x^2 + 4x^2 = 5x^2.

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Und wie rechne ich dann das x heraus ?

Die erste ableitung ist ja eine Gleichung 3.Grades , soll ich da etwa 3 Nullstellen errechen ?

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Benutze das Newtonverfahren. Nachdem du schon weisst, dass die Krümmung immer positiv ist, solltest du nur eine Nullstelle finden.

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d^2 = x^4 + 5·x^2 - 14·x + 53

d^2' = 4·x^3 + 10·x - 14 = 0

Wertetabelle machen. Man findet eine Nullstelle für x = 1 und vermutet da das Minimum.

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@mathecoach, warum bist du wieder einmal 1 Minute
schneller mit der Anwort ?

@die beiden anderen.
worüber unterhaltet Ihr euch eigentlich ?
Hier die komplette Lösung

(Abstand)^2 = x⁴ + 5x² - 14x + 53
1.Ableitung bilden
4*x^3 + 10*x - 14
Null setzen fürs Maximum
4*x^3 + 10*x - 14 = 0
Nach dem Newtonverfahren lösen.
In diesem Beispiel kann der Fachmann die
Lösung x = 1 schon sehen.
f(1) = -(1)^2 = -1
(Abstand)^2 = ( 7 - 1)^2 + ( 2-(-1))^2
(Abstand)^2 = 36 + 9
Abstand = 6.71

mfg Georg

Answer 2

Wenn du es komplizierer haben möchtest, dann stelle die Tangentengleichung der Tangenten an f ( x ) an der Stelle x₀ auf, berechne dazu die Gleichung der Senkrechten auf diese Tangente, setze in diese Gleichung die Koordinaten des Punktes P ( 7 | 2 ) ein und löse nach x₀ auf. So erhältst du die Stelle x₀ , an der eine Gerade durch den Punkt P senkrecht auf dem Graphen von f ( x ) steht.
Damit kannst du dann den Punkt Q ( x₀ | f ( x₀ ) ) berechnen und die Länge der Strecke PQ ist dann der kürzeste Abstand zwischen P und dem Graphen von f ( x ).

Berechnung der Gleichung der Tangenten an den Graphen von f ( x ) = - x ² an der Stelle x₀ :

Punkt-Steigungsform:

y = m ( x - u ) + v

Vorliegend:

m = f ' ( x₀ ) = - 2 x ₀
u = x₀
v = f ( x₀ ) = - x₀²

also:

y_T ( x₀ , x  ) = - 2 x₀ ( x - x₀ ) - x₀²

= - 2 x₀ x + x₀²

Setzt man hier für x₀ einen Wert ein, so erhält man die Gleichung der Tangenten an den Graphen von f an dieser Stelle.
Beispiel: x₀ = 2 => y_T ( 2, x ) = - 2 * 2 * x + 4 = - 4 x + 4

Nun bestimmt man die Senkrechte zu y_T ( x₀ , x ). Deren Steigung ist 1 / ( 2 x₀) , sodass sich wieder mit der Punkt-Steigungsform ergibt:

y_S ( x₀ , x ) = ( 1 / ( 2 x₀ ) ) ( x - x₀ ) - x₀²

= ( 1 / ( 2 x₀ ) )  x - ( 1 / 2 ) - x₀²

Es ist nun x₀ so zu bestimmen, dass der Punkt ( 7 | 2 ) die Gleichung erfüllt, also einsetzen:

2 = ( 1 / ( 2 x₀ ) )  * 7  -  ( x₀² + ( 1 / 2 ) )

und Auflösen nach x₀ :

<=> 4 x₀ = 7 - x₀ - 2 x₀³

<=> 2 x₀³ + 5 x₀ = 7

An dieser Stelle sieht man sofort: Eine Lösung ist:

x₀ = 1
Polynomdivision ergibt ein Restpolynom, welches keine weitere Nullstelle besitzt, also ist x₀ = 1 die einzige Lösung.

Der Punkt Q auf dem Graphen von f ( x ) , der vom Punkt P ( 7 | 2 ) den kleinsten Abstand hat, ist also:

Q ( x₀ | f ( x₀ ) ) = ( 1 | - 1 ² ) = ( 1 | - 1 )

und der Abstand des Punktes P vom Punkt Q (und damit vom Graphen von f )  ist :

d = √ ( ( 7 - 1 ) ² + ( 2 - ( - 1 ) ) ² )

= √ ( 36 + 9 )

= √ 45