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Wie bestimme ich den kürzesten Abstand des Punktes P(7/2) von der Kurve y(x)= -x² ?
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y = -x^2     enthält die Punkte Q(x, -x^2)

Minimiere das Quadrat der Abstände.

d^2 = |PQ|^2 = (x-7)^2 + (-x^2 - 2)^2


= (x-7)^2 + (x^2 + 2)^2

= x^2 -14x + 49 + x^4 + 4x^2 + 4

= x^4 + 5x^2 - 14x + 53

Nun erst mal nachrechnen, ableiten, Nullstellen der Ableitung bestimmen, etc.

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Und durch welche operation erhalte ich dann den Abstand ?


Ich muss ja keine Kurvendiskussion aufstellen ....

Sobald du x bestimmt hast (Nullstellen der Ableitung), gehst du damit in diese Formel:

d2 = |PQ|2 = (x-7)2 + (-x2 - 2)2

und ziehst dann noch die Wurzel.

Ich glaub in deiner ersten Rechnung in der letzten Zeile stimmt was nicht... wie kann es sein dass 5x² dort steht und die 49 verschwinden ?
Desweiteren wenn ich das 2 mal ableite steht dann 12x²+20 , somit ist x keine reelle Lösung mehr.
12x²+20> 0 das ist ja gut.

Heisst, dass man auf jeden Fall ein rel. Minimum gefunden hat bei der Nullstelle der ersten Ableitung.

49+4 = 53,  (Danke! ist korrigiert).

x^2 + 4x^2 = 5x^2.
Und wie rechne ich dann das x heraus ?

Die erste ableitung ist ja eine Gleichung 3.Grades , soll ich da etwa 3 Nullstellen errechen ?
Benutze das Newtonverfahren. Nachdem du schon weisst, dass die Krümmung immer positiv ist, solltest du nur eine Nullstelle finden.
d^2 = x^4 + 5·x^2 - 14·x + 53

d^2' = 4·x^3 + 10·x - 14 = 0

Wertetabelle machen. Man findet eine Nullstelle für x = 1 und vermutet da das Minimum.
Besten Dank!

@mathecoach, warum bist du wieder einmal 1 Minute
schneller mit der Anwort ?

@die beiden anderen.
worüber unterhaltet Ihr euch eigentlich ?
Hier die komplette Lösung

(Abstand)^2 = x4 + 5x2 - 14x + 53
1.Ableitung bilden
4*x^3 + 10*x - 14
Null setzen fürs Maximum
4*x^3 + 10*x - 14 = 0
Nach dem Newtonverfahren lösen.
In diesem Beispiel kann der Fachmann die
Lösung x = 1 schon sehen.
f(1) = -(1)^2 = -1
(Abstand)^2 = ( 7 - 1)^2 + ( 2-(-1))^2
(Abstand)^2 = 36 + 9
Abstand = 6.71

mfg Georg

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Wenn du es komplizierer haben möchtest, dann stelle die Tangentengleichung der Tangenten an f ( x ) an der Stelle x0 auf, berechne dazu die Gleichung der Senkrechten auf diese Tangente, setze in diese Gleichung die Koordinaten des Punktes P ( 7 | 2 ) ein und löse nach x0 auf. So erhältst du die Stelle x0 , an der eine Gerade durch den Punkt P senkrecht auf dem Graphen von f ( x ) steht.
Damit kannst du dann den Punkt Q ( x0 | f ( x0 ) ) berechnen und die Länge der Strecke PQ ist dann der kürzeste Abstand zwischen P und dem Graphen von f ( x ).

Berechnung der Gleichung der Tangenten an den Graphen von f ( x ) = - x 2 an der Stelle x0 :

Punkt-Steigungsform:

y = m ( x - u ) + v

Vorliegend:

m = f ' ( x0 ) = - 2 x 0
u = x0
v = f ( x0 ) = - x02

also:

yT ( x0 , x  ) = - 2 x0 ( x - x0 ) - x02

= - 2 x0 x + x02

Setzt man hier für x0 einen Wert ein, so erhält man die Gleichung der Tangenten an den Graphen von f an dieser Stelle.
Beispiel: x0 = 2 => yT ( 2, x ) = - 2 * 2 * x + 4 = - 4 x + 4

Nun bestimmt man die Senkrechte zu yT ( x0 , x ). Deren Steigung ist 1 / ( 2 x0) , sodass sich wieder mit der Punkt-Steigungsform ergibt:

yS ( x0 , x ) = ( 1 / ( 2 x0 ) ) ( x - x0 ) - x02

= ( 1 / ( 2 x0 ) )  x - ( 1 / 2 ) - x02

Es ist nun x0 so zu bestimmen, dass der Punkt ( 7 | 2 ) die Gleichung erfüllt, also einsetzen:

2 = ( 1 / ( 2 x0 ) )  * 7  -  ( x02 + ( 1 / 2 ) )

und Auflösen nach x0 :

<=> 4 x0 = 7 - x0 - 2 x03

<=> 2 x03 + 5 x0 = 7

An dieser Stelle sieht man sofort: Eine Lösung ist:

x0 = 1
Polynomdivision ergibt ein Restpolynom, welches keine weitere Nullstelle besitzt, also ist x0 = 1 die einzige Lösung.

Der Punkt Q auf dem Graphen von f ( x ) , der vom Punkt P ( 7 | 2 ) den kleinsten Abstand hat, ist also:

Q ( x0 | f ( x0 ) ) = ( 1 | - 1 2 ) = ( 1 | - 1 )

und der Abstand des Punktes P vom Punkt Q (und damit vom Graphen von f )  ist :

d = √ ( ( 7 - 1 ) 2 + ( 2 - ( - 1 ) ) 2 )

= √ ( 36 + 9 )

= √ 45

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