Wie löst man diese Gleichung nach n auf?

Question

Aufgabe: Wie löst man diese Gleichung nach n auf?

 ${\huge1 - \left(\frac{1}{6}\right)^\text{n} \geq 0,97}$

Answer 1

Aloha :)

$$1-\left(\frac16\right)^n\ge0,97\quad\bigg|-1$$$$-\left(\frac16\right)^n\ge-0,03\quad\bigg|\cdot(-1)$$$$\left(\frac16\right)^n\le0,03\quad\bigg|\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$$$\frac{1}{6^n}\le0,03=\frac{3}{100}\quad\bigg|\text{Kehrwerte}$$$$6^n\ge\frac{100}{3}\quad\bigg|\ln(\cdots)$$$$\ln(6^n)\ge\ln\left(\frac{100}{3}\right)\quad\bigg|\ln(a^b)=b\cdot\ln(a)$$$$n\cdot\ln(6)\ge\ln\left(\frac{100}{3}\right)\quad\bigg|\,:\ln(6)$$$$n\ge\frac{\ln\left(\frac{100}{3}\right)}{\ln(6)}\approx1,96$$Vermutlich soll $n\in\mathbb N$ eine natürliche Zahl sein, sodass $n\ge2$ sein muss, damit die Ungleichung gilt.

Comments

Hallo Tschakabuma

Vielen Dank für den ausführlichen Rechenweg!
Gibt es dafür auch eine Online Seite, die das ausrechnen kann? Ich habe das mal bei cymath eingegeben doch der Rechner findet keine Lösung.

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Auf wolframalpha.com bekommst du das Ergebnis, aber ohne Rechenschritte:

https://www.wolframalpha.com/input?i=1-%281%2F6%29%5En%3E%3D0.97

Einen online-Rechner, der auch die Rechenschritte liefert, kenne ich leider nicht. Das heißt aber nicht, dass es einen solchen nicht gibt.

Vielleicht weiß jemand anders im Forum hier Rat?

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Vielen Dank, das Ergebnis anzuzeigen reicht, Rechenweg weiß ich ja jetzt

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Symbolab ist ganz gut, der zeigt auch die Rechenwege an, kostet aber monatlich oder jährlich

und bei manchen Sachenn ist der Rechenweg nicht so schön, aber besser als nichts

Text erkannt:

$1-\left(\frac{1}{6}\right)^{n} \geq 0,97$
$1-\left(\frac{1}{6}\right)^{n} \geq 0.97:\left[\begin{array}{cc}\text { Solution: } & n \geq-\log _{6}(0.03) \\ \text { Decimal: } & n \geq 1.95704 \ldots \\ \text { Interval Notation: } & {\left[-\log _{6}(0.03), \infty\right)}\end{array}\right]$
$\begin{array}{l} \text { Steps } \\ 1-\left(\frac{1}{6}\right)^{n} \geq 0.97 \end{array}$
Subtract 1 from both sides
$1-\left(\frac{1}{6}\right)^{n}-1 \geq 0.97-1$
$\begin{array}{l} \text { Simplify } \\ -\left(\frac{1}{6}\right)^{n} \geq-0.03 \end{array}$
Multiply both sides by $-1$ (reverse the inequality)
$\left(-\left(\frac{1}{6}\right)^{n}\right)(-1) \leq(-0.03)(-1)$
$\begin{array}{l} \text { Simplify } \\ \left(\frac{1}{6}\right)^{n} \leq 0.03 \end{array}$
Apply exponent rules
$\left(\frac{1}{6}\right)^{n} \leq 0.03$
$\begin{array}{l} \text { Apply exponent rule: } \quad a=b \\ 0.03=\left(\frac{1}{6}\right)^{\log \left(\frac{1}{6}\right)(0.03)} \\ \left(\frac{1}{6}\right)^{n} \leq\left(\frac{1}{6}\right)^{\log \left(\frac{1}{6}\right)(0.03)} \end{array}$
Simplify $\log _{\frac{1}{6}}(0.03):-\log _{6}(0.03)$
$\left(\frac{1}{6}\right)^{n} \leq\left(\frac{1}{6}\right)^{-\log _{6}(0.03)}$ Show Steps $\oplus$
If $0<a<1$, then $d^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ is equivalent to $f(x) \geq g(x)$
$a=\left(\frac{1}{6}\right), f(x)=n, g(x)=-\log _{6}(0.03)$
$n \geq-\log _{6}(0.03)$
$n \geq-\log _{6}(0.03)$
Got a different answer? Check if it's correct
Verify

Answer 2

Durch irgendwelche rätselhafte Schritte ergibt sich daraus für mich

${\huge\left(\frac{1}{6}\right)^\text{n} \le 0,03}$

Jetzt kann man mal an Logarithmen und ihre Gesetze denken.

Answer 3

$$1 - \left( \frac{1}{6} \right) ^n = 0.97 \newline 1 - 0.97 = \left( \frac{1}{6} \right) ^n \newline \left( \frac{1}{6} \right) ^n = 0.03 \newline n = \log_{\frac{1}{6}}(0.03) \newline n = 1.957$$

Bei Wolframalpha und auch bei anderen Lösungsprogrammen kann man zunächst eine Ungleichung in eine Gleichung verwandeln. Früher in der Schule hat man sowas meist auch immer als Gleichung notiert und erst im Antwortsatz die Ungleichung berücksichtigt.

https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+1-%281%2F6%29%5En%3D0.97

Dann zeigt Wolframalpha hier auch den beliebten "Step-by-Step-Solution-Button" an. Allerdings ist das auf der Webseite kostenpflichtig. In der App für iOS oder Android sind die Lösungsschritte aber kostenlos. Dafür bezahlt man aber einmal für die App.

Und natürlich gibt es auch noch andere Programme die sowas lösen. Recht beliebt und von mir empfohlen ist die App Photomath. Auch weil man die Aufgabe nicht mal abtippen muss sondern es langt sie einfach zu fotografieren.

Achtung: Die Lösungsprogramme haben meist alle ihre Eigenheiten. D.h. man muss sich auch erstmal ein wenig mit den Programmen anfreunden, um den Lösungsweg gut nachvollziehen zu können. Programme lieben es, Dezimalzahlen in Bruchzahlen umzuwandeln. Wie du aber z.B. an meiner Lösung oben erkennst, ist die gar nicht nötig und dadurch wirkt eine Lösung einfach nur komplizierter, als sie eigentlich ist. Am besten ist wenn man selber rechnet und sich evtl. nur Anregungen für einen nächsten schritt holt.