Zeigen Sie: x liegt in A und in B^c

Question

Aufgabe:

Hallo liebe Leute,

habe wieder eine Aufgabe zur Mengenlehre, die wie folgt lautet:

Seien A,B ⊂ X und bezeichne A^c das Komplement von A bezüglich X. Zeigen Sie:

A\B = A ∩ B^c

Problem/Ansatz:

Sei x∈A. Nach A\B gilt:

x∈A und x∉B und da A,B⊂X gilt: x∈X und x∈A und x∉B. Da B⊂X gilt nun:

x∈A und x∈B^c

Ist der Ansatz oben so richtig, weil in meinen Kopf ein großes Fragezeichen ist ...

Lg

Answer 1

Ich muss zugeben, ich werde nicht ganz schlau daraus, was du mit deinem Ansatz genau meinst zu zeigen (heißt, nicht dass er falsch ist). Prinzipiell zeigt man solche Aufgaben meistens, indem man zeigt, dass die erste Menge eine Teilmenge der zweiten ist und die zweite eine Teilmenge der ersten ist.

Beweisskizze nach diesem Schema:
Wählen wir x bel. aus A\B. Dann liegt per Def. x in A und x nicht in B. Da x in A ist, ist x in X. Da x in X und x nicht in B ist, ist x in B^c. Da x in A und in B^c ist, ist x auch im Schnitt dieser Mengen. Da x beliebig war, ist also A\B eine Teilmenge von dem Schnitt A und B^c.

Wählen wir hingegen x beliebig in A geschnitten mit B^c, so gilt: Per Def. liegt x in A und in B^c. Weil x in B^c liegt, liegt es nicht in B. Weil x in A und nicht in B liegt, liegt x in A\B. Weil x beliebig war, ist also der Schnitt von A und B^c eine Teilmenge von A\B.

Daraus folgt die Gleichheit dieser Mengen.

Falls etwas unklar ist, frag gerne nocheinmal nach. LG :)