lim n->inf \sqrt[n]{x} = 1 für alle R >0

Question

Aufgabe: lim n->inf $\sqrt[n]{x}$ = 1 für alle R >0

Problem/Ansatz: Hi, Ich habe irgendwie keinen richtigen Ansatz für die Aufgabe. Ich kenne den Beweis für $\sqrt[n]{n}$, dort wurde es über das sandwich-Theorem gelöst, jedoch kann Ich dieses nicht hier anwenden oder?

Hoffe Ihr habt Tipps für mich.^^

Comments

Vielleicht doch. Falls $x>1$ ist, gilt $1<\sqrt[n]x<\sqrt[n]n$ für alle $n>x$, sonst betrachte $\frac1x$.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(x^{\frac1n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{\frac1n\ln(x)}\right)=e^{\lim\limits_{n\to\infty}\left({\frac1n\ln(x)}\right)}=e^0=1$$

Answer 2

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x}$

$\sqrt[2]{9}=3$

$\sqrt[10]{9}≈1,245$

$\sqrt[100]{9}≈1,0222$

$\sqrt[1000]{9}≈1,0021$

..................

$\sqrt[∞]{9}=1$

Der Wert kann nicht kleiner als 1 werden, da z.B. $0,9^{1000}≈0,35$

Je größer der Exponent, umso kleiner wird die Zahl.  Im Grenzfall   wird 0 erreicht.

Comments

Der Wert kann nicht kleiner als 1 werden

Das heißt noch lange nicht, dass der Grenzwert existiert und gleich 1 sein muss.