Aufgabe: lim n->inf xn \sqrt[n]{x} nx = 1 für alle R >0
Problem/Ansatz: Hi, Ich habe irgendwie keinen richtigen Ansatz für die Aufgabe. Ich kenne den Beweis für nn \sqrt[n]{n} nn, dort wurde es über das sandwich-Theorem gelöst, jedoch kann Ich dieses nicht hier anwenden oder?
Hoffe Ihr habt Tipps für mich.^^
Vielleicht doch. Falls x>1x>1x>1 ist, gilt 1<xn<nn1<\sqrt[n]x<\sqrt[n]n1<nx<nn für alle n>xn>xn>x, sonst betrachte 1x\frac1xx1.
Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
limn→∞xn=limn→∞(x1n)=limn→∞(e1nln(x))=elimn→∞(1nln(x))=e0=1\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(x^{\frac1n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{\frac1n\ln(x)}\right)=e^{\lim\limits_{n\to\infty}\left({\frac1n\ln(x)}\right)}=e^0=1n→∞limnx=n→∞lim(xn1)=n→∞lim(en1ln(x))=en→∞lim(n1ln(x))=e0=1
limn→∞xn \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x} n→∞limnx
92=3 \sqrt[2]{9}=3 29=3
910≈1,245 \sqrt[10]{9}≈1,245 109≈1,245
9100≈1,0222 \sqrt[100]{9}≈1,0222 1009≈1,0222
91000≈1,0021 \sqrt[1000]{9}≈1,0021 10009≈1,0021
..................
9∞=1 \sqrt[∞]{9}=1 ∞9=1
Der Wert kann nicht kleiner als 1 werden, da z.B. 0,91000≈0,350,9^{1000}≈0,350,91000≈0,35
Je größer der Exponent, umso kleiner wird die Zahl. Im Grenzfall wird 0 erreicht.
Der Wert kann nicht kleiner als 1 werden
Das heißt noch lange nicht, dass der Grenzwert existiert und gleich 1 sein muss.
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