Hallo zusammen, ich sitze zurzeit an dieser Aufgabe (Vollständige Induktion mit einem Binomialkoeffizienten) und bin fast am Ziel, jedoch fehlt mir nur noch ein Schritt...
Aufgabe:
Zeigen Sie: $$ \sum \limits_{i=1}^{n} i^3 = \begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix}^2 $$
Mein Ansatz sieht zurzeit so aus:
Gezeigt werden soll folgendes: $$ \sum \limits_{i=1}^{n+1} i^3 = \begin{pmatrix} (n+1)+1\\2 \end{pmatrix}^2 $$
Nun habe ich erst einmal die beiden Binomialkoeffizienten vereinfacht:
$$ \begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix}^2 = (\frac{(n+1)!}{2*(n-1)!})^2 = (\frac{n*(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2*(n+1)^2}{4} $$
$$ \begin{pmatrix} n+2\\2 \end{pmatrix}^2 = (\frac{(n+2)!}{2*n!})^2 = (\frac{(n+1)*(n+2)}{2})^2 = \frac{(n+1)^2*(n+2)^2}{4} $$
Nun bin ich wie folgt vorgegangen:
$$ \sum \limits_{i=1}^{n} i^3 + (n+1)^3 $$
$$ \begin{aligned}&\begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix}^2 + (n+1)^3 \\ &= \frac{n^2*(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 \\ &= \frac{n^2*(n+1)^2 + 4*(n+1)^3}{4} \\ &= \frac{(n+1)^2 * n^2 + 4n + 4 * (n+1)^2}{4} \\ &= \frac{(n+1)^2 * (n+2)^2 * (n+1)^2}{4}\end{aligned} $$
Ich bin fast am Ziel, sofern ich bei der Vereinfachung der Binomialkoeffizienten keinen Fehler gemacht habe, aber es stört noch das (n+1)² am Ende des Zählers. Meine Frage ist: Wie bekomme ich das weg oder habe ich doch etwas übersehen?
Vielen Dank für eure Mühe!
