Zeigen Sie: Σ i=1n i3 = \begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix}2

Question

Hallo zusammen, ich sitze zurzeit an dieser Aufgabe (Vollständige Induktion mit einem Binomialkoeffizienten) und bin fast am Ziel, jedoch fehlt mir nur noch ein Schritt...

Aufgabe:

Zeigen Sie: $$\sum \limits_{i=1}^{n} i^3 = \begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix}^2$$

Mein Ansatz sieht zurzeit so aus:

Gezeigt werden soll folgendes: $$\sum \limits_{i=1}^{n+1} i^3 = \begin{pmatrix} (n+1)+1\\2 \end{pmatrix}^2$$

Nun habe ich erst einmal die beiden Binomialkoeffizienten vereinfacht:

$$\begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix}^2 = (\frac{(n+1)!}{2*(n-1)!})^2 = (\frac{n*(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2*(n+1)^2}{4}$$
$$\begin{pmatrix} n+2\\2 \end{pmatrix}^2 = (\frac{(n+2)!}{2*n!})^2 = (\frac{(n+1)*(n+2)}{2})^2 = \frac{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}$$

Nun bin ich wie folgt vorgegangen:

$$\sum \limits_{i=1}^{n} i^3 + (n+1)^3$$
$$\begin{aligned}&\begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix}^2 + (n+1)^3 \\ &= \frac{n^2*(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 \\ &= \frac{n^2*(n+1)^2 + 4*(n+1)^3}{4} \\ &= \frac{(n+1)^2 * n^2 + 4n + 4 * (n+1)^2}{4} \\ &= \frac{(n+1)^2 * (n+2)^2 * (n+1)^2}{4}\end{aligned}$$

Ich bin fast am Ziel, sofern ich bei der Vereinfachung der Binomialkoeffizienten keinen Fehler gemacht habe, aber es stört noch das (n+1)² am Ende des Zählers. Meine Frage ist: Wie bekomme ich das weg oder habe ich doch etwas übersehen?

Vielen Dank für eure Mühe!

Answer 1

In der vorletzen Zeile gehört um 4n+4 eine Klammer.

Wenn man in dem Zähler (n+1)² ausklammert, ist der Restterm in der Klammer (n²+4n+4), also (n+2)².

Comments

Vielen Dank, genau das war das letzte Puzzleteil, das noch zur Lösung gefehlt hat.

Answer 2

Ich denke deine Umformung ist verkehrt:

(n + 1 über 2)² + (n + 1)³

(n·(n + 1)/2)² + (n + 1)³

n²·(n + 1)²/4 + (n + 1)³

n²·(n + 1)²/4 + 4·(n + 1)³/4

(n²·(n + 1)² + 4·(n + 1)³)/4

(n²·(n + 1)² + 4·(n + 1)²·(n + 1))/4

(n + 1)²·(n² + 4·(n + 1))/4

(n + 1)²·(n² + 4·n + 4)/4

(n + 1)²·(n + 2)²/4

Comments

abakus hat mir den entscheidenden Tipp gegeben, aber ich bedanke mich auch für deine Antwort