Ist eine Funktion punktsymmetrisch zum Punkt, bei folgender Bedingung?

Question

Eine Funktion \( \mathrm{f}: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto y \), mit \( \mathbb{D} \subseteq \mathbb{R} \), ist punktsymmetrisch, zum Punkt \( P\left(x_{0} \mid y_{0}\right) \), wenn:

\( \forall x \in \mathbb{D} \wedge n=x-x_{0} \exists ! m \in \mathbb{R}: f\left(x_{0}+n\right)+m=f\left(x_{0}-n\right)-m \)  gilt.

Problem/Ansatz:

… Diese Aussage ist falsch oder?

Answer 1

Annahme: Da ist ein Abschreibfehler drin. Sicher das vor rechten Seite der Gleichung nicht noch ein Minus steht? Dann wäre es die Definition der Punktsymmetrie und eine wahre Aussage.

Für den Fall, dass du wirklich die Aussage meinst. Hier der Beweis, dass die Aussage falsch ist:

Betrachten wir f(x)=x^2 und den Punkt P=(0|0).

Es gilt:

$$\begin{aligned}f(x_0+x-x_0)+m&=f(x_0-x+x_0)-m\\f(0+x-0)+m&=f(0-x+0)-m\\f(x)+m&=f(-x)-m\\x^2+m&=x^2-m\\m&=-m\\&\Rightarrow m=0\end{aligned}$$

Somit ist für alle x die Aussage mit m=0 erfüllt. Die Funktion ist aber ganz sicher nicht punktsymmetrisch, weil sie achsensymmetrisch ist, womit die Aussage widerlegt ist.

LG