Pythagoreische Tripel mit Quadratzahlen

Question

Ein primitives pythagoreische Tripel (ppT) hat die Gleichung

$a^{2}+b^{2}=c^{2} \phantom{10}a,b,c \in \mathbb{N}$

Dabei lassen sich die die Werte von a,b,c wie folgt bestimmen:

$a=m^{2}-n^{2} ,\phantom{5} b=2\cdot{m} \cdot{n} ,\phantom{5} c=m^{2}+n^{2} \phantom{10} m,n \in \mathbb{N}$

a,b sind dabei die Katheten und c die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

Ausserdem sind für ppT m > n > 0 und m,n teilerfremd.

Es gibt für die ppT einige interessante Aussagen, z.B. sind die Zahlenwerte der Katheten nicht gleichzeitig gerade oder ungerade, eine Kathete ist immer ein Vielfaches von 3 sowie eine Seite des Dreiecks ist immer durch 5 teilbar.

Für alle diese Behauptungen existieren einfache Beweise.

Für mich stellt sich für ppT die folgende FRAGE:

Ich setze statt a und b für die Katheten die Werte a^2 und b^2 ein. Somit sind die Katheten des rechtwinkligen
Dreiecks jeweils ganzzahlige Quadrate, a^2 sei ungerade und b^2 gerade.

Man könnte die Bestimmungsgleichungen mit Quadraten also wie folgt schreiben:

$a^{2}=m^{2}-n^{2} ,\phantom{5} b^{2}=2\cdot{m}\cdot{m}$

ABER:

Setze ich beispielsweise $a^{2}=m^{2}-n^{2}=25^{2}-24^{2}=49$ ergibt sich für
$b^{2}=2\cdot{m}\cdot{n}=2\cdot{25}\cdot{24}=1200$ , was keine Quadratzahl ist.

Natürlich ist klar, dass das generell so nicht funktioniert (siehe Großen Satz von Fermat).

Aber ich würde gern wissen WARUM?

Gibt es vielleicht einen einfachen Beweis dafür, dass beide Katheten nicht gleichzeitig Quadrate oder auch höhere Potenzen sein können (siehe Beweise oben).

Ich hatte mir folgenden Ansatz überlegt, komme aber damit nicht weiter:

Es seien $a^{2}=m^{2}-n^{2} ,\phantom{5} b^{2}=2\cdot{m}\cdot{n}$ die Katheten.

Man kann beide Gleichungen dividieren und ausmultiplizieren

$\dfrac{a^{2}}{b^{2}}=\dfrac{m^{2}-n^{2}}{2\cdot{m}\cdot{n}}$

$0=m^{2}-\dfrac{a^{2}}{b^{2}}\cdot{2}\cdot{m}\cdot{n}-m^{2}$

Diese quadratische Gleichung lässt sich lösen und man erhält:

$m_{1,2} = n\cdot{\left(\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \pm \sqrt{ 1+\left(\dfrac{a^{2}}{b^{2}}\right)^{2}}\right)}$

Beschränkt man sich auf die positive Wurzel ergibt sich

$\dfrac{m}{n} = \dfrac{a^{2}}{b^{2}} + \sqrt{ 1+\left(\dfrac{a^{2}}{b^{2}}\right)^{2}}$

Auf der linken Seite der Gleichung steht eine rationale Zahl $(\dfrac{m}{n})$

Man müsste nun (einfach?) beweisen, dass die rechte Seite der Gleichung nicht rational werden kann. Aber WIE?

Oder man versucht folgendes Binom zu rechnen ( um die Wurzel los zu werden ):

$\left( \dfrac{m}{n} - \dfrac{a^{2}}{b^{2}} \right)^{2}= 1+\left(\dfrac{a^{2}}{b^{2}}\right)^{2}$

Ich bin da aber leider auch nicht weit gekommen.

Gibt es vielleicht noch andere Möglichkeiten, das Problem anzugehen?

Comments

Ich möchte das Problem noch etwas genauer betrachten:

Die Bestimmungsgleichungen für die ppT (Katheten) sind:

$a=m^{2}-n^{2} ,\phantom{5} b=2\cdot{m}\cdot{m}$

Angenommen, ich wähle m und n so, dass $a=u^{2} \phantom{5} bzw. \phantom{5} b=v^{2}$ ganze Quadratzahlen sind.

O.B.d.A. soll m ungerade und n gerade sein, also $m=(2p+1) ,\phantom{5} n=2q$

$( a,b,u,v,m,n,p,q \in \mathbb{N} )$

Setzt man die Terme in die obigen Gleichungen ein, ergibt sich:

$a=(2p+1)^{2}-(2q)^{2} ,\phantom{15} b=2\cdot{(2p+1)} \cdot{(2q)}$

Für $\phantom{5} b=4\cdot{(2p+1)} \cdot{q} \phantom{5}$ lässt sich zeigen, dass bei geeigneter Wahl von p,q die Zahl b eine gerade Quadratzahl ist.

Für a lässt sich mit Hilfe der 3.Binomischen Formel folgende Gleichung bilden:

$a=(2p+1)^{2}-(2q)^{2} = ( 2p+1+2q) \cdot{( 2p+1-2q)}$

$\phantom{5}= ( 2(p+q)+1) \cdot{( 2(p-q)+1)}$

$\phantom{5}= 4(p+q)(p-q) + 2(p+q)+2(p-q)+1$

$a=4(p+q)(p-q) + 4p + 1$

Unter der Voraussetzung, dass b mit geeignetem p,q > 0 eine Quadratzahl ist, erhält man hier als Ergebnis eine ungerade Zahl, aber keine Quadratzahl.

Eine ungerade Quadratzahl hätte die Form $(2k+1)^{2}=4k^{2} + 4k + 1$

was aber hier nicht zutrifft: $(p+q)(p-q) \neq p^{2} \phantom{5} für \phantom{5} q > 0$

Somit ist gezeigt, dass in einem ppT $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ die Katheten a und b nicht gleichzeitig Quadratzahlen sein können.

Answer 1

Ich verstehe nicht was du genau willst wenn man die Tripel mit a,b, c durch m,,n findet würde man ja mit demselben Ansatz für a²  ,b²   a⁴+b⁴=c⁴ haben zu zeigen, dass das nicht geht, ist ja der Beweis eines Teils von Fermat für Exponent 4 . Ist es wirklich deine Absicht, das auf deinem Weg zu zeigen, oder fragst du uns, dir rasch mal hier den Beweis aufzuschreiben? Es gibt einen Beweis, den du selbst ergoogelt kannst.

Gruß lul

Comments

Meine Frage hatte ich eigentlich formuliert.

Es geht mir nur um die beiden Gleichungen mit a² und b².

Letztlich wollte ich wissen, ob es eine Möglichkeit gibt, zu zeigen, dass der Ausdruck mit der Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung nicht rational sein kann.

Es gibt da verschiedene zahlentheoretische Methoden. Deshalb auch zunächst meine einleitenden Worte.

Der Fermat Beweis ist da was ganz anderes.

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Wenn es diese Möglichkeit gäbe, hätte man doch den Fermat für n=4 gezeigt?

lul

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Hallo

Zusatz : a²=m²-n² also a²+n²=m² daraus b²=n²=? 2nm  falls = folgt n=2m

und damit a²+4m²=m²  also unmöglich. also b²≠2nm

lul

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Danke, das sieht wirklich interessant aus.

Irgendwie kann ich jedoch den mittleren Teil nicht richtig nachvollziehen. Ich komme da mit meinen Umformungen nicht weiter. Bin ich schon betriebs-blind?

$b^{2}=n^{2}=? 2nm$ falls = folgt n=2m

Das Ende ist aber für mich genau das richtige Ergebnis!

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Wenn man a²+b²=c² hat, ist mit a² auch b² und c² bestimmt deshalb folgt aus a²+n²=m²  dass b²=n² (und c²=m²) ist, das habe ich vorausgesetzt

lul

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Danke für die Ergänzung, aber das erscheint mir doch etwas wage:

wenn $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , warum soll dann plötzlich $a^{2}+n^{2}=m^{2}$ und vor allem auch $n^{2}=b^{2}$gelten? Ich kann da nicht folgen...

Ich habe aber noch einen anderen Ansatz überlegt:

Ich bilde das Produkt ${a}\cdot{b} = (m^{2}-n^{2}) \cdot{2mn}$ und möchte dann zeigen, dass der Term $(m^{2}-n^{2}) \cdot{2mn}$ keine Quadratzahl ist.

Da ich $a=(m^{2}-n^{2})$ mit der Wahl von m und n als Quadratzahl festgelegt habe, kann dann zwangsläufig b keine Quadratzahl sein. Damit wäre gezeigt, dass a und b nicht gleichzeitig Quadratzahlen sein können.

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Hallo

Du hattest a²=m²-n²

daraus direkt a²+n²=m² ein Pythagoras. Tripel mit festem a² ist eindeutig, also ist n²=b²

Gruß lul

Answer 2

Ich setze statt a und b für die Katheten die Werte a^2 und b^2 ein.

Das ist dein Fehler. Für a und b und c wird gar nichts EINGESETZT.

Eingesetzt werden nur beliebige Zahlen m und n, aus denen sich dann Zahlen a,b,c ergeben.

Comments

Ja, das stimmt normalerweise.

Aber ich würde das gern auch mal rückwärts rechnen.

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Aber ich würde das gern auch mal rückwärts rechnen.

Dann nimm dir ein bekanntes Tripel (z.B. 5,12,13) und setze 5=m²-n², 12=2mn und 13=m²+n². Damit kannst du Rückschlüsse auf m und n ziehen.