Grundverständnis Probleme LinA-2 ( Aufgabe zu Tripel)

Question

Text erkannt:

Aufgabe 4 Für zwei Vektorräume $V_{1}$ und $V_{2}$ betrachten wir ein Tripel $\left(V, \iota_{1}, \iota_{2}\right)$ bestehend aus einem Vektorraum $V$ und Monomorphismen $\iota_{1}: V_{1} \rightarrow V$ und $\iota_{2}: V_{2} \rightarrow V$, so dass die folgende „universelle Eigenschaft" erfüllt ist: Für jeden weiteren Vektorraum $W$ und zwei lineare Abbildungen $R_{1}: V_{1} \rightarrow W$ und $R_{2}: V_{2} \rightarrow W$ gibt es genau eine lineare Abbildung $R: V \rightarrow W$ mit $R_{1}=R \circ \iota_{1}$ und $R_{2}=R \circ \iota_{2}$.
a) Zeigen Sie, dass das Tripel $\left(V_{1} \oplus V_{2}, \kappa_{1}, \kappa_{2}\right)$, wobei $\kappa_{1}$ und $\kappa_{2}$ jeweils die kanonischen Identifikationen von $V_{1}$ und $V_{2}$ mit einem Unterraum von $V_{1} \oplus V_{2}$ bezeichnen, die obige universelle Eigenschaft erfüllen.
b) Zeigen Sie, sind $\left(V, \iota_{1}, \iota_{2}\right)$ und $\left(V^{\prime}, \iota_{1}^{\prime}, \iota_{2}^{\prime}\right)$ zwei solche Tripel, die die obige universelle Eigenschaft erfüllen, so existiert ein Isomorphismus $\Phi: V \rightarrow V^{\prime}$ mit $\Phi \circ \iota_{1}=\iota_{1}^{\prime}$ und $\Phi \circ \iota_{2}=\iota_{2}^{\prime}$.

Problem:

Ich bin ehrlich gesagt komplett überfragt. Allein das Verständnis der oben stehenden Eigenschaften und das daraus folgende zu zeigen überfordert mich komplett. Kann jemand mir das vielleicht ein bisschen erklären/runterbrechen, da ich wirklich gerade gar nichts verstehe? Danke.

Comments

Kein Interesse an meiner Antwort ?

Answer 1

a):

Sei $V=V_1\oplus V_2$, also

$V=\{(v_1,v_2): \; v_1\in V_1, v_2\in V_2\}$.

Dann sind $\kappa_1,\kappa_2$ gegeben durch

$\kappa_1:\; V_1\to V,\; v_1\mapsto (v_1,0)$ und

$\kappa_2:\; V_2\to V,\; v_2\mapsto (0,v_2)$.

Seien nun $R_1:\;V_1\to W$ und $R_2:\;V_2\to W$ zwei

lineare Abbildungen, dann definieren wir $R:\;V\to W$

durch $R((v_1,v_2))=R_1(v_1)+R_2(v_2)$.

Diese Definition ist zwangsläufig, weil

$R\circ \kappa_1=R_1$ und $R\circ \kappa_2=R_2$ gelten soll.

Zu zeigen bleibt noch die Linearität von $R$.

Deren Nachweis überlasse ich dir.

Comments

Danke aber leider bisschen zu spät, haben die Aufgabe bereits in der Übung besprochen (Abgabe ist montag gewesen)

Trotzdem danke