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Aufgabe:

In der Aufgabe soll die ungefähre Tiefe eines Kraters und die Funktionsgleichung der Parabel bestimmt werden. Dazu hat man folgende Informationen:

Durchmesser: 22m

Parabel besitzt eine 16% Steigung

Anahme: Der Querschnitt des Kraters kann durch eine gestreckte Parabel bestimmt werden.


Problem/Ansatz:

Leider bin ich bei dieser Aufgabe komplett aufgeschmissen und weiß nicht so wirklich, wie ich diese Lösen kann.

Vielleicht ist jemand ja etwas schlauer als ich und kann mir helfen :)

von
Parabel besitzt eine 16% Steigung

Wo? Am Kraterrand?

Eine Parabel hat ja nicht überall die gleiche Steigung. Wo genau sollen denn die 16% Steigung vorliegen?

Ah stimmt, habe ich vergessen in die Aufgabe zu schreiben. Am Rand des Kraters sind die 16%

Parabel: y = ax2


Löse die Gleichung

f ' (11) = 0,16

2 Antworten

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Aloha :)

Der Krater hat die Form einer Parabel. Aus Symmetriegründen legen wir den Scheitelpunkt der Parabel an die tiefste Stelle des Kraters. Dann lautet die Funktionsgleichung:$$k(x)=ax^2$$

Wir wissen, dass der Krater einen Durchmesser von \(22\,\mathrm m\) hat und dass er am Rand eine Steitung von 16% aufweist. Der Rand des Kraters liegt bei \(x=11\) und über die Steigung gibt die erste Ableitung Auskunft:$$0,16\stackrel!=k'(11)=\left(2ax\right)_{x=11}=22a\implies a=\frac{2}{275}$$

Der Krater wird also durch folgende Parabel beschrieben:\(\quad k(x)=\frac{2}{275}\,x^2\)

Der Kraterrand liegt bei \(x=11\). Der tiefste Punkt des Kraters liegt bei \(x=0\). Daher gilt für die Tiefe \(T\) des Kraters:$$T=k(11)-k(0)=\frac{2}{275}\cdot11^2-0=\frac{22}{25}=0,88$$Der Krater hat also eine Tiefe von \(0,88\,\mathrm m\).

~plot~ 2/275*x^2 ; [[-12|13|-1|15]] ; 0,88 ; {-11|0,88} ; {11|0,88} ; {0|0} ~plot~

von 124 k 🚀

Sorry das ich nochmal nachfragen, aber wie bist du auf die 2/275 gekommen?

Wir haben ja die Gleichung \(0,16=22a\) erhalten. Daraus folgt:$$\frac{16}{100}=22a\implies a=\frac{16}{100\cdot22}=\frac{4}{25\cdot22}=\frac{2}{25\cdot11}=\frac{2}{275}$$

Aaah, das ergibt soviel Sinn :)

Die Aufgabe an sich habe ich jetzt verstanden, vielen Dank !!


Allerdings habe ich jetzt die Frage, wieso wir die Steigung einfach so vor die Ableitung schreiben können?

Ich glaube, ich konnte meine Frage selber beantworten. Man kann die Steigung davor schreiben, weil die Steigung an der Stelle k′(11) ja 16% ist.

Ja genau richtig. Die Steigung ist gleich der ersten Ableitung.

Dankeschön:)

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f(x) = a * (x - 11) * (x + 11) = a * (x^2 - 121)

f'(x) = a * (2 * x)

f'(11) = a * (2 * 11) = 0.16 → a = 2/275

f(x) = 2/275 * (x^2 - 121)

blob.png

Das wäre jetzt eine maximale Steigung von 16% am Kraterrand.

von 440 k 🚀

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