Hallo,
das Ergebnis ist bei einem Einheitskreis (um \(0\)) wieder der gleiche Kreis!
Geometrisch gesehen ist die Multiplikation einer Zahl in der komplexen Ebene mit \(i\) eine Drehung des Vektors vom Ursprung zur besagten Zahl um \(90°\) bzw. \(\pi/2\).
Analytisch kann man einen Punkt \(P\) auf dem Einheitskreis in Abhängig seines WInkels \(\varphi\) zur X-Achse mit $$P = P(\varphi) = e^{i \varphi}$$bezeichnen. Die Multiplikation mit \(i\) ergibt$$P(\varphi) \cdot i = e^{i \varphi} \cdot i = e^{i \varphi} \cdot e^{i \pi/2} = e^{i (\varphi + \pi/2)}$$... wieder ein Kreis.
Oh ich sehe gerade: Der Mittelpunkt des Kreises ist \(z_m=1\) - oder? Es gilt das gleiche wie oben schon gesagt, nur der Mittelpunkt wird mit bewegt:
der rote Kreis wird auf den blauen abgebildet. Ein Punkt auf dem (Ursprungs)kreis und das Ergbebnis seiner Multiplikation mit \(i\) ist$$P(\varphi) = 1+\cos(\varphi) + i \sin(\varphi) \\ P(\varphi) \cdot i = - \sin(\varphi) + i(1+\cos(\varphi))$$
Gruß Werner
