Aloha :)
Der Erwartungswert bei dem Wurf eines Würfels betägt:$$\mu_1=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac72$$
Die Varianz beim Wurf eines Würfels beträgt:$$\sigma_1^2=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}-\mu^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}$$
Nun betrachten wir \(n=42\) unabhängige Würfel. Gemäß des zentralen Grenzwertsatzes addieren sich die Erwartungswerte und die Varianzen:$$\mu_{42}=42\cdot\frac72=147\quad;\quad\sigma_{42}^2=42\cdot\sigma_1^2=\frac{245}{2}$$
Bei der Anwendung der kontinuierlichen Normalverteilung auf eine Zufallsvariable mit diskreten Werten müssen wir die sog. Stetigkeitskorrektur beachten. Das heißt nichts anderes, als dass wir daran denken, dass bereits ab einem Wert von \(149,5\) auf \(150\) gerundet wird. Die Wahrscheinlichkeit eine Augensumme von mindestens 150 zu würfeln ist daher:$$P(X\ge149,5)=1-P(X<149,5)=1-\phi\left(\frac{149,5-\mu_{42}}{\sigma_{42}}\right)=1-\phi\left(\frac{2,5}{\sqrt{\frac{245}{2}}}\right)$$$$\phantom{P(X\ge149,5)}\approx1-\phi(0,225877)\approx1-0,589351=0,410649\approx41,06\%$$
Bei der Rechnung ohne Stetigkeitskorrektur erhält man \(P(X\ge150)\approx39,32\%\).
