Zeigen sie dies für die Funktion f mit f(x)= x3+4x2-3x+2

Question

Aufgabe:

Es soll gezeigt werden, dass sich jede Polynomfunktion f als Summe einer geraden Funkton f_g und einer ungeraden Funktion f_u darstellen lässt.

a) Zeigen sie dies für die Funktion f mit f(x)= x³+4x²-3x+2

und b) Begründen sie: Die Funktion f_g= 1/2(f(x)+f(-x)) ist eine gerade Funktion.

Problem/Ansatz:

Wie kann man dies rechnerisch beweisen?

Answer 1

Bei a) sollst du das doch nur am Beispiel einer vorgegebenen Funktion machen und nicht allgemein.

a)

f(x) = x^3 + 4·x^2 - 3·x + 2

f(x) = fg(x) + fu(x)

mit

fg(x) = 4·x^2 + 2

fu(x) = x^3 - 3·x

Comments

Nutzen wir das mal für b)

1/2·(f(x) + f(-x))
= 1/2·(fg(x) + fu(x) + fg(-x) + fu(-x))
= 1/2·(fg(x) + fu(x) + fg(x) - fu(x))
= 1/2·(fg(x) + fg(x))
= 1/2·(2·fg(x))
= fg(x)

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Damit hast du aber nicht gezeigt, dass \(f_g\) gerade ist. Du lediglich nur ausgenutzt, dass sich f als Summe aus gerader und ungerader Funktion schreiben lässt.

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Ich setze folgendes Elementarwissen zu Polynomen voraus:

Ein Polynom ist gerade, wenn alle Potenzen von x gerade sind.

Answer 2

Hallo :-)

Eine Funktion \(f: A\to B\) (\(A,B\) sind Mengen) heißt gerade, falls für alle \(x\in A\) stets \(f(x)=f(-x)\) gilt und ungerade, falls für alle \(x\in A\) stets \(f(-x)=-f(x)\) gilt.

Nun betrachte ich die Funktion \(g_1(x):=\frac{1}{2}\cdot (f(x)+f(-x))\). Dises ist gerade, denn für jedes \(x\in A\) gilt nämlich $$ g_1(-x)=\frac{1}{2}\cdot (f(-x)+f(-(-x)))=\frac{1}{2}\cdot (f(-x)+f(x))=\frac{1}{2}\cdot (f(x)+f(-x))=g_1(x).$$

Analog kannst du zeigen, dass die Funktion \(g_2(x):=\frac{1}{2}\cdot (f(x)-f(-x))\) ungerade ist.

Daraus kann man sehen, dass sich \(f\) als folgende Summe schreiben lässt: $$f(x)=\frac{1}{2}\cdot (f(x)+f(-x))+\frac{1}{2}\cdot (f(x)-f(-x))=g_1(x)+g_2(x).$$

Comments

Dankeschön! Ich habe allerdings noch die Frage:

a) Bestimmen Sie eine ungerade Funktion f so, dass gilt f= fg+fu

ich probiere es die ganze Zeit rum, aber es kommt nie eine ungerade Funktion raus..

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Wende doch einfach folgendendes an:

\(g_1(x):=\frac{1}{2}\cdot (f(x)+f(-x))\) ist gerade

\(g_2(x):=\frac{1}{2}\cdot (f(x)-f(-x))\) ist ungerade.

Du musst nur deine Funktion \(f\) nehmen und in die obigen beiden Formeln einsetzen.