Berechnen Sie L(x). Welchen Grad hat L ? Rechnen Sie nach.

Question

Aufgabe:

Es sei \( f: X \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( X \subset \mathbb{R} \) eine Funktion und \( x_{0}, \ldots, x_{n} \in X \). Seien weiter
\( L_{k}(x)=\prod \limits_{\substack{j=0 \\ j \neq k}}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}} \)
und
\( L(x)=\sum \limits_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) L_{k}(x) . \)
Dann ist \( L \) ein Polynom.
1. Welchen Grad hat \( L \) ?
2. Rechnen Sie nach, dass \( L\left(x_{k}\right)=f\left(x_{k}\right) \) für \( k=1, \ldots, n \) gilt.
3. Berechnen Sie \( L(x) \) für den Fall \( f(x)=x+x^{2} \) und \( x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=2 \).

Problem/Ansatz:

Vielen Dank für Hilfe.

Comments

Wird L wirklich ohne Verwendung von L0 definiert? Gilt die Interpolationseigenschaft in 2. Nicht für k=0?

Answer 1

1. Grad n

2. Nachrechnen L_k(x_k)= 1, also L(x_k)=f(x_k)*1 = f(x_k)

3. \( f(x_{0})=0 ,  f(x_{1}) =2   , f(x_{2})=6 \)

\(L_{0}(x)=\prod \limits_{\substack{j=0 \\ j \neq 0}}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}} =\frac{x-1}{0-1}  \cdot \frac{x-2}{0-2} =\frac{x^2-3x+2}{2}  \)

\(L_{1}(x)=\prod \limits_{\substack{j=0 \\ j \neq 1}}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}} =\frac{x-0}{1-0}  \cdot \frac{x-2}{1-2} =\frac{x^2-2x}{-1}  \)

\(L_{2}(x)=\prod \limits_{\substack{j=0 \\ j \neq 2}}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}} =\frac{x-0}{2-0}  \cdot \frac{x-1}{2-1} =\frac{x^2-x}{2}  \)

Also L(x)=f(x)

Comments

Warum 1. Grad n-1 ?

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Die Produkte bestehen immer aus n Faktoren, bei denen im

Zähler sowas wie (x-...) steht. Beim Ausrechnen gibt das was

mit x^n . Oha, also grad = n.

Answer 2

Es fehlt xi≠xk für i≠k damit der Nenner nicht 0 wird.

1. im Nenner von Lk stehen nur Zahlen also sieht man den Grad von Lk leicht, wenn nicht setz mal n=3 oder 4 und schreib es aus.

f(xk) sind wieder Zahlen also hat man ne Summe von Polynomen damit hat L den Grad von Lk

2. auch hier erstmal n=2 oder 3 dannsiehst du wie es läuft

3. ist ja einfaches einsetzen von \( x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=2 \)

Gruß lul